Тригонометрические уравненияТригонометрияСтаршая школа≈ 2:06

Найдите arccos(-√3/2) и все углы в [0°, 360°) при cos x = -√3/2

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: arccos(-√3/2) = 150° (5π/6); решения в [0°, 360°): 150°, 210°; общий: x = ±150° + 360°n.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите arccos(-√3/2) и все углы в [0°, 360°) при cos x = -√3/2

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
Найдите arccos(-√3/2) и все углы в [0°, 360°) при cos x = -√3/2
2. Пошагово
1. $\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$
  Главное значение arccos, взятое в диапазоне [0, π]
2. $\cos(-x) = \cos x$
  Косинус — чётная функция, поэтому x и −x (то есть 360° − x)) дают одно и то же значение
3. $x = 150^\circ,\ 210^\circ \quad (\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6})$
  Решения в пределах одного полного оборота, 0° ≤ x < 360°
4. $x = \pm 150^\circ + 360^\circ n$
  Общее решение, n — любое целое число
3. Ответ
$\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6},\quad x = \pm 150^\circ + 360^\circ n$
arccos(-√3/2) = 150°
4. Проверка
- Подставляем каждое решение обратно: cos(150°) ≈ -0.8660254038; cos(210°) ≈ -0.8660254038.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите arccos(-квадратный корень из 3 делить на 2 и все углы в [0°, 360°) при cos x равно -квадратный корень из 3 делить на 2. Найдём угол, косинус которого равен -квадратный корень из 3 делить на 2: главное значение arccos, все решения cos(x) равно -квадратный корень из 3 делить на 2 в пределах одного оборота и общее решение.

Пошагово. Главное значение arccos, взятое в диапазоне [0, пи]. 150° — табличный угол, поэтому ответ точный. Косинус — чётная функция, поэтому x и минус x (то есть 360° минус x)) дают одно и то же значение. Решения в пределах одного полного оборота, 0° меньше или равно x меньше 360°. Общее решение, n — любое целое число.

Ответ. Итак, ответ: arccos(-квадратный корень из 3 делить на 2 равно 150° (5пи/6); решения в [0°, 360°): 150°, 210°; общий: x равно плюс-минус 150° плюс 360°n. Обратная тригонометрическая функция возвращает один угол — главное значение. Поскольку тригонометрические функции периодичны, уравнение cos(x) равно -квадратный корень из 3 делить на 2 имеет бесконечно много решений; калькулятор выводит решения в пределах одного оборота и общую формулу.

Проверка. Подставляем каждое решение обратно: cos(150°) приблизительно минус 0.8660254038; cos(210°) приблизительно минус 0.8660254038.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки