Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ВекторыЛинейная алгебраВуз≈ 0:43

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 2, 3⟩ и ⟨4, -5, 6⟩

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: u · v = 12, угол ≈ 68.562447°.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 2, 3⟩ и ⟨4, -5, 6⟩

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 2, 3⟩ и ⟨4, -5, 6⟩
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. (1)(4)+(2)(−5)+(3)(6)(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)
      Перемножаем соответствующие координаты
    2. uv=4−10+18=12u v = 4 - 10 + 18 = 12
      Складываем произведения
    3. ∣u∣=14=14≈3.741657387,∣v∣=77=77≈8.774964387|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387
      Находим длины
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=1232.83291≈0.36548694⇒θ≈68.562447° (1.1966404 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ рад})
      Угол между векторами
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈1.3675269,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨4877,−6077,7277⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle
      Скалярная и векторная проекции u на v
  4. 4. Ответ
    uv=12u v = 12

    u·v = 12

  5. 5. Проверка
    • Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v·u даёт то же значение.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 2, 3⟩ и ⟨4, минус 5, 6⟩. Скалярное произведение двух 3-мерных векторов.

Шаги, часть 1. Перемножаем соответствующие координаты. Складываем произведения. Находим длины. Угол между векторами.

Шаги, часть 2. Скалярная и векторная проекции u на v.

Ответ. Итак, ответ: u умножить на v равно 12, угол приблизительно 68.562447°. Скалярное произведение положительно, поэтому угол между векторами острый.

Проверка. Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v умножить на u даёт то же значение.

Похожие уроки

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 2, 3⟩ и ⟨4, -5, 6⟩ — пошаговый видеоурок