Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ВекторыЛинейная алгебраВуз≈ 0:41

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 0, 1⟩ и ⟨0, 1, 1⟩

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: u · v = 1, угол ≈ 60°.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 0, 1⟩ и ⟨0, 1, 1⟩

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 0, 1⟩ и ⟨0, 1, 1⟩
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. (1)(0)+(0)(1)+(1)(1)(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)
      Перемножаем соответствующие координаты
    2. uv=0+0+1=1u v = 0 + 0 + 1 = 1
      Складываем произведения
    3. ∣u∣=2=2≈1.414213562,∣v∣=2=2≈1.414213562|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562
      Находим длины
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=12≈0.5⇒θ≈60° (1.0471976 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ рад})
      Угол между векторами
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈0.70710678,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨0,12,12⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle
      Скалярная и векторная проекции u на v
  4. 4. Ответ
    uv=1u v = 1

    u·v = 1

  5. 5. Проверка
    • Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v·u даёт то же значение.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 0, 1⟩ и ⟨0, 1, 1⟩. Скалярное произведение двух 3-мерных векторов.

Шаги, часть 1. Перемножаем соответствующие координаты. Складываем произведения. Находим длины. Угол между векторами.

Шаги, часть 2. Скалярная и векторная проекции u на v.

Ответ. Итак, ответ: u умножить на v равно 1, угол приблизительно 60°. Скалярное произведение положительно, поэтому угол между векторами острый.

Проверка. Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v умножить на u даёт то же значение.

Похожие уроки

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨1, 0, 1⟩ и ⟨0, 1, 1⟩ — пошаговый видеоурок