Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ВекторыЛинейная алгебраВуз≈ 0:42

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨2, -1⟩ и ⟨1, 3⟩

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: u · v = -1, угол ≈ 98.130102°.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите скалярное произведение и угол между ⟨2, -1⟩ и ⟨1, 3⟩

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    Найдите скалярное произведение и угол между ⟨2, -1⟩ и ⟨1, 3⟩
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. (2)(1)+(−1)(3)(2)(1) + (-1)(3)
      Перемножаем соответствующие координаты
    2. uv=2−3=−1u v = 2 - 3 = -1
      Складываем произведения
    3. ∣u∣=5=5≈2.236067977,∣v∣=10=10≈3.16227766|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766
      Находим длины
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−17.0710678≈−0.14142136⇒θ≈98.130102° (1.7126934 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ рад})
      Угол между векторами
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.31622777,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−110,−310⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle
      Скалярная и векторная проекции u на v
  4. 4. Ответ
    uv=−1u v = -1

    u·v = -1

  5. 5. Проверка
    • Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v·u даёт то же значение.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите скалярное произведение и угол между ⟨2, минус 1⟩ и ⟨1, 3⟩. Скалярное произведение двух 2-мерных векторов.

Шаги, часть 1. Перемножаем соответствующие координаты. Складываем произведения. Находим длины. Угол между векторами.

Шаги, часть 2. Скалярная и векторная проекции u на v.

Ответ. Итак, ответ: u умножить на v равно минус 1, угол приблизительно 98.130102°. Скалярное произведение отрицательно, поэтому угол между векторами тупой.

Проверка. Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v умножить на u даёт то же значение.

Похожие уроки

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨2, -1⟩ и ⟨1, 3⟩ — пошаговый видеоурок