Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ВекторыЛинейная алгебраВуз≈ 0:43

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨5, 2, -1⟩ и ⟨1, -3, 4⟩

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: u · v = -5, угол ≈ 100.31319°.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите скалярное произведение и угол между ⟨5, 2, -1⟩ и ⟨1, -3, 4⟩

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    Найдите скалярное произведение и угол между ⟨5, 2, -1⟩ и ⟨1, -3, 4⟩
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. (5)(1)+(2)(−3)+(−1)(4)(5)(1) + (2)(-3) + (-1)(4)
      Перемножаем соответствующие координаты
    2. uv=5−6−4=−5u v = 5 - 6 - 4 = -5
      Складываем произведения
    3. ∣u∣=30=30≈5.477225575,∣v∣=26=26≈5.099019514|u| = \sqrt{30} = \sqrt{30} \approx 5.477225575,\quad |v| = \sqrt{26} = \sqrt{26} \approx 5.099019514
      Находим длины
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−527.92848≈−0.17902872⇒θ≈100.31319° (1.7507955 рад)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-5}{27.92848} \approx -0.17902872 \Rightarrow \theta \approx 100.31319° \ (1.7507955\text{ рад})
      Угол между векторами
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.98058068,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−526,1526,−1013⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.98058068,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{5}{26}, \frac{15}{26}, -\frac{10}{13} \rangle
      Скалярная и векторная проекции u на v
  4. 4. Ответ
    uv=−5u v = -5

    u·v = -5

  5. 5. Проверка
    • Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v·u даёт то же значение.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите скалярное произведение и угол между ⟨5, 2, минус 1⟩ и ⟨1, минус 3, 4⟩. Скалярное произведение двух 3-мерных векторов.

Шаги, часть 1. Перемножаем соответствующие координаты. Складываем произведения. Находим длины. Угол между векторами.

Шаги, часть 2. Скалярная и векторная проекции u на v.

Ответ. Итак, ответ: u умножить на v равно минус 5, угол приблизительно 100.31319°. Скалярное произведение отрицательно, поэтому угол между векторами тупой.

Проверка. Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v умножить на u даёт то же значение.

Похожие уроки

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨5, 2, -1⟩ и ⟨1, -3, 4⟩ — пошаговый видеоурок