ВекторыЛинейная алгебраВуз≈ 0:39

Найдите скалярное произведение и угол между ⟨3, 4⟩ и ⟨-4, 3⟩

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: u · v = 0, угол ≈ 90°.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите скалярное произведение и угол между ⟨3, 4⟩ и ⟨-4, 3⟩

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
Найдите скалярное произведение и угол между ⟨3, 4⟩ и ⟨-4, 3⟩
2. Шаги, часть 1
1. $(3)(-4) + (4)(3)$
  Перемножаем соответствующие координаты
2. $u v = -12 + 12 = 0$
  Складываем произведения
3. $|u| = \sqrt{25} = 5,\quad |v| = \sqrt{25} = 5$
  Находим длины
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{0}{25} \approx 0 \Rightarrow \theta \approx 90° \ (1.5707963\text{ рад})$
  Угол между векторами
3. Шаги, часть 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, 0 \rangle$
  Скалярная и векторная проекции u на v
4. Ответ
$u v = 0$
u·v = 0
5. Проверка
- Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v·u даёт то же значение.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите скалярное произведение и угол между ⟨3, 4⟩ и ⟨-4, 3⟩. Скалярное произведение двух 2-мерных векторов.

Шаги, часть 1. Перемножаем соответствующие координаты. Складываем произведения. Находим длины. Угол между векторами.

Шаги, часть 2. Скалярная и векторная проекции u на v.

Ответ. Итак, ответ: u умножить на v равно 0, угол приблизительно 90°. Скалярное произведение равно 0, поэтому векторы ортогональны (перпендикулярны).

Проверка. Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v умножить на u даёт то же значение.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки