方程组代数高中≈ 1:16

解方程组 2x + 3y = 7, 4x + 6y = 14

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1. 题目
例题讲解
$\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ 4x+6y = 14 \end{cases}$
2. 步骤，第1部分
1. $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}$
  把每个方程写成标准形式
2. $\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 4 & 6 & 14\end{bmatrix}$
  构造增广矩阵 [A | b]
3. 高斯–若尔当消元法
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 4 & 6 & 14\end{bmatrix}$
  R1 除以 2
3. 步骤，第2部分
1. $R_{2} \to R_{2} - 4R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  用 R1 中的主元消去 1 列
2. $\begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  简化行阶梯形
3. $x = 7/2 - (3/2)t,\ y = t$
  y 是自由变量
4. 答案
$x = 7/2 - (3/2)t,\ y = t$
2x + 3y = 7; 4x + 6y = 14 ⇒ Infinitely many solutions: x = 7/2 - (3/2)t, y = t (t any real number)
5. 检验
- 秩 1 < 2（未知数个数），且没有矛盾的行，所以解集是含 1 个参数的解族。

题目. 题目是：解方程组 2x 加 3y 等于 7, 4x 加 6y 等于 14. 含 2 个未知数 (x, y) 的 2 个线性方程。

步骤，第1部分. 把每个方程写成标准形式. 把所有含变量的项移到左边，常数移到右边。构造增广矩阵 [A | b]. 各列：x, y | 常数。高斯–若尔当消元法. 用初等行变换使每个主元为 1，并消去该列的其他元素。 R1 除以 2.

步骤，第2部分. 用 R1 中的主元消去 1 列. 简化行阶梯形. y 是自由变量. 主元个数为 1，未知数个数为 2，所以自由变量个数为 1。令 y 等于 t，再由主元所在的行解出其余变量。

答案. 所以答案是无穷多解: x 等于 7 除以 2 减 (3 除以 2)t, y 等于 t (t 任意实数). 这些方程线性相关，所以它们表示同一条直线或同一个平面（或者交成一整条直线），有无穷多个解。

检验. 秩 1 小于 2（未知数个数），且没有矛盾的行，所以解集是含 1 个参数的解族。