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Resolver um problema
TriângulosGeometriaEnsino médio≈ 1:30

Encontre todos os três ângulos de um triângulo com lados 3, 4 e 5

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A ≈ 36.869898°, B ≈ 53.130102°, C ≈ 90°.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre todos os três ângulos de um triângulo com lados 3, 4 e 5

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre todos os três ângulos de um triângulo com lados 3, 4 e 5
  2. 2. Passos, parte 1
    1. Verificar a desigualdade triangular
    2. cos⁡C=a2+b2−c22ab=32+42−522(3)(4)≈0⇒C≈90∘\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2(3)(4)} \approx 0 \Rightarrow C \approx 90^\circ
      Ângulo C (oposto ao lado c)
    3. cos⁡A=b2+c2−a22bc=42+52−322(4)(5)≈0.8⇒A≈36.869898∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2(4)(5)} \approx 0.8 \Rightarrow A \approx 36.869898^\circ
      Ângulo A (oposto ao lado a)
    4. B=180∘−A−C≈53.130102∘B = 180^\circ - A - C \approx 53.130102^\circ
      Terceiro ângulo pela soma dos ângulos
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Aˊrea=12absin⁡C≈6\text{Área} = \tfrac12ab\sin C \approx 6
      Área a partir de dois lados e do ângulo entre eles
  4. 4. A resposta
    A ≈ 36.869898°, B ≈ 53.130102°, C ≈ 90°\text{A ≈ 36.869898°, B ≈ 53.130102°, C ≈ 90°}

    A ≈ 36.869898°, B ≈ 53.130102°, C ≈ 90°

  5. 5. Verificação
    • A + B + C = 180°.
    • A fórmula de Heron dá a mesma área: 6.
    • Razões da lei dos senos: a/sin A ≈ 5, b/sin B ≈ 5, c/sin C ≈ 5.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre todos os três ângulos de um triângulo com lados 3, 4 e 5. LLL: encontrar os três ângulos.

Passos, parte 1. Verificar a desigualdade triangular. 3 mais 4 igual a 7 maior que 5, então o triângulo existe. Ângulo C (oposto ao lado c). Ângulo A (oposto ao lado a). Terceiro ângulo pela soma dos ângulos.

Passos, parte 2. Área a partir de dois lados e do ângulo entre eles.

A resposta. Portanto, a resposta é A aproximadamente 36.869898°, B aproximadamente 53.130102°, C aproximadamente 90°. O triângulo tem lados a igual a 3, b igual a 4, c igual a 5 e ângulos A aproximadamente 36.869898°, B aproximadamente 53.130102°, C aproximadamente 90°. É um triângulo escaleno retângulo de área aproximadamente 6 e perímetro aproximadamente 12.

Verificação. A mais B mais C igual a 180°. A fórmula de Heron dá a mesma área: 6. Razões da lei dos senos: a/sin A aproximadamente 5, b/sin B aproximadamente 5, c/sin C aproximadamente 5.

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