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Resolver um problema
TriângulosGeometriaEnsino médio≈ 2:01

Dois lados de um triângulo são 10 e 12 com um ângulo de 75° entre eles. Encontre o terceiro lado

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Dois lados de um triângulo são 10 e 12 com um ângulo de 75° entre eles. Encontre o terceiro lado

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Dois lados de um triângulo são 10 e 12 com um ângulo de 75° entre eles. Encontre o terceiro lado
  2. 2. Passos, parte 1
    1. c2=102+122−2(10)(12)cos⁡75∘≈181.88343c^2 = 10^2 + 12^2 - 2(10)(12)\cos 75^\circ \approx 181.88343
      Substituir em c² = a² + b² − 2ab·cos C
    2. c≈13.486416c \approx 13.486416
      Tirar a raiz quadrada
    3. cos⁡A=b2+c2−a22bc≈0.69787327⇒A≈45.743376∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.69787327 \Rightarrow A \approx 45.743376^\circ
      Encontrar o ângulo A com a lei dos cossenos rearranjada
    4. B=180∘−A−C≈59.256624∘B = 180^\circ - A - C \approx 59.256624^\circ
      A soma dos ângulos de um triângulo vale 180°
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Aˊrea=12absin⁡C≈57.95555\text{Área} = \tfrac12ab\sin C \approx 57.95555
      Área a partir de dois lados e do ângulo entre eles
  4. 4. A resposta
    c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°\text{c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°}

    c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°

  5. 5. Verificação
    • A + B + C = 180°.
    • A fórmula de Heron dá a mesma área: 57.95555.
    • Razões da lei dos senos: a/sin A ≈ 13.962166, b/sin B ≈ 13.962166, c/sin C ≈ 13.962166.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Dois lados de um triângulo são 10 e 12 com um ângulo de 75° entre eles. Encontre o terceiro lado. LAL: encontrar o terceiro lado e os ângulos restantes.

Passos, parte 1. Substituir em c ao quadrado igual a a ao quadrado mais b ao quadrado menos 2ab vezes cos C. Tirar a raiz quadrada. Encontrar o ângulo A com a lei dos cossenos rearranjada. A soma dos ângulos de um triângulo vale 180°.

Passos, parte 2. Área a partir de dois lados e do ângulo entre eles.

A resposta. Portanto, a resposta é c aproximadamente 13.486416; A aproximadamente 45.743376°, B aproximadamente 59.256624°. O triângulo tem lados a igual a 10, b igual a 12, c aproximadamente 13.486416 e ângulos A aproximadamente 45.743376°, B aproximadamente 59.256624°, C aproximadamente 75°. É um triângulo escaleno acutângulo de área aproximadamente 57.95555 e perímetro aproximadamente 35.486416.

Verificação. A mais B mais C igual a 180°. A fórmula de Heron dá a mesma área: 57.95555. Razões da lei dos senos: a/sin A aproximadamente 13.962166, b/sin B aproximadamente 13.962166, c/sin C aproximadamente 13.962166.

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