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Resolver um problema
TriângulosGeometriaEnsino médio≈ 2:06

Dois lados de um triângulo são 5 e 7 com um ângulo de 60° entre eles. Encontre o terceiro lado

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Dois lados de um triângulo são 5 e 7 com um ângulo de 60° entre eles. Encontre o terceiro lado

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Dois lados de um triângulo são 5 e 7 com um ângulo de 60° entre eles. Encontre o terceiro lado
  2. 2. Passos, parte 1
    1. c2=52+72−2(5)(7)cos⁡60∘=39c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39
      Substituir em c² = a² + b² − 2ab·cos C
    2. c=39=39≈6.244997998c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998
      Tirar a raiz quadrada
    3. cos⁡A=b2+c2−a22bc≈0.72057669⇒A≈43.897886∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ
      Encontrar o ângulo A com a lei dos cossenos rearranjada
    4. B=180∘−A−C≈76.102114∘B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ
      A soma dos ângulos de um triângulo vale 180°
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Aˊrea=12absin⁡C≈15.155445\text{Área} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445
      Área a partir de dois lados e do ângulo entre eles
  4. 4. A resposta
    c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°\text{c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°}

    c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

  5. 5. Verificação
    • A + B + C = 180°.
    • A fórmula de Heron dá a mesma área: 15.155445.
    • Razões da lei dos senos: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Dois lados de um triângulo são 5 e 7 com um ângulo de 60° entre eles. Encontre o terceiro lado. LAL: encontrar o terceiro lado e os ângulos restantes.

Passos, parte 1. Substituir em c ao quadrado igual a a ao quadrado mais b ao quadrado menos 2ab vezes cos C. Tirar a raiz quadrada. Encontrar o ângulo A com a lei dos cossenos rearranjada. A soma dos ângulos de um triângulo vale 180°.

Passos, parte 2. Área a partir de dois lados e do ângulo entre eles.

A resposta. Portanto, a resposta é c igual a a raiz quadrada de 39 aproximadamente 6.244997998; A aproximadamente 43.897886°, B aproximadamente 76.102114°. O triângulo tem lados a igual a 5, b igual a 7, c aproximadamente 6.244998 e ângulos A aproximadamente 43.897886°, B aproximadamente 76.102114°, C aproximadamente 60°. É um triângulo escaleno acutângulo de área aproximadamente 15.155445 e perímetro aproximadamente 18.244998.

Verificação. A mais B mais C igual a 180°. A fórmula de Heron dá a mesma área: 15.155445. Razões da lei dos senos: a/sin A aproximadamente 7.2111026, b/sin B aproximadamente 7.2111026, c/sin C aproximadamente 7.2111026.

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