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Resolver um problema
MatrizesÁlgebra linearFaculdade≈ 0:50

Encontre o determinante de [[1,2,0,1],[0,1,3,2],[2,0,1,1],[1,1,1,1]]

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: det(A) = -2.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    det⁡[1201013220111111]\det \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. A=[1201013220111111]A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}
      Ler a matriz 4×4
    2. Chegar a uma matriz triangular superior por operações elementares nas linhas
    3. [120101320−41−10−110]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & -4 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 1 (somar um múltiplo de uma linha não altera o determinante)
    4. [12010132001370042]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{bmatrix}
      Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 2 (somar um múltiplo de uma linha não altera o determinante)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. [1201013200137000−213]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{2}{13}\end{bmatrix}
      Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 3 (somar um múltiplo de uma linha não altera o determinante)
    2. det⁡A=(1)(1)(13)(−213)=−2\det A = (1)(1)(13)(-\frac{2}{13}) = -2
      Multiplicar os elementos da diagonal da matriz triangular
  4. 4. A resposta
    det⁡A=−2\det A = -2

    det = -2

  5. 5. Verificação
    • Calculado de forma exata com frações; a eliminação gaussiana dá o mesmo valor -2.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o determinante de [[1,2,0,1],[0,1,3,2],[2,0,1,1],[1,1,1,1]]. Calcular o determinante de uma matriz 4 vezes 4.

Passos, parte 1. Ler a matriz 4 vezes 4. Chegar a uma matriz triangular superior por operações elementares nas linhas. Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 1 (somar um múltiplo de uma linha não altera o determinante). Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 2 (somar um múltiplo de uma linha não altera o determinante).

Passos, parte 2. Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 3 (somar um múltiplo de uma linha não altera o determinante). Multiplicar os elementos da diagonal da matriz triangular.

A resposta. Portanto, a resposta é det(A) igual a menos 2. O determinante vale menos 2, que é diferente de zero: a matriz é, portanto, invertível e as suas linhas são linearmente independentes.

Verificação. Calculado de forma exata com frações; a eliminação gaussiana dá o mesmo valor menos 2.

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