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Resolver um problema
MatrizesÁlgebra linearFaculdade≈ 0:49

Inversa de [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]].

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.3 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    [123014560]−1\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{bmatrix}^{-1}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. det⁡A=1≠0\det A = 1 \neq 0
      Verificar que o determinante é diferente de zero
    2. [123100014010560001]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Escrever a matriz aumentada [A | I]
    3. R3→R3−5R1: [1231000140100−4−15−501]R_{3} \to R_{3} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Zerar a coluna 1 usando o pivô em R1
    4. R1→R1−2R2, R3→R3+4R2: [10−51−20014010001−541]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Zerar a coluna 2 usando o pivô em R2
  3. 3. Passos, parte 2
    1. R1→R1+5R3, R2→R2−4R3: [100−2418501020−15−4001−541]R_{1} \to R_{1} + 5R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 4R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Zerar a coluna 3 usando o pivô em R3
    2. A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      A metade direita agora é a inversa
    3. AA−1=[100010001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Verificação: A·A⁻¹ = I
  4. 4. A resposta
    A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}

    A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]

  5. 5. Verificação
    • Multiplicar A pelo resultado dá exatamente a matriz identidade.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Inversa de [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]. Calcular a inversa de uma matriz 3 vezes 3.

Passos, parte 1. Verificar que o determinante é diferente de zero. Escrever a matriz aumentada [A | I]. Zerar a coluna 1 usando o pivô em R1. Zerar a coluna 2 usando o pivô em R2.

Passos, parte 2. Zerar a coluna 3 usando o pivô em R3. A metade direita agora é a inversa. Verificação: A vezes A elevado a menos 1 igual a I.

A resposta. Portanto, a resposta é A elevado a menos 1 igual a [[-24, 18, 5], [20, menos 15, menos 4], [-5, 4, 1]]. O determinante vale 1, então A é invertível. Todos os elementos da inversa são exatos.

Verificação. Multiplicar A pelo resultado dá exatamente a matriz identidade.

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