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Resolver um problema
Sistemas de equaçõesÁlgebraEnsino médio≈ 1:24

Resolva o sistema x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + y - z = 1

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = 1, y = 2, z = 3.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    {x+y+z=6x−y+z=22x+y−z=1\begin{cases} x+ y+ z = 6 \\ x- y+ z = 2 \\ 2x+ y- z = 1 \end{cases}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. {x+y+z=6x−y+z=22x+y−z=1\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}
      Escrever cada equação na forma padrão
    2. [11161−11221−11]\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}
      Montar a matriz aumentada [A | b]
    3. Eliminação de Gauss-Jordan
    4. R2→R2−1R1, R3→R3−2R1: [11160−20−40−1−3−11]R_{2} \to R_{2} - 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}
      Zerar a coluna 1 usando o pivô em R1
  3. 3. Passos, parte 2
    1. R2→1−2R2: [111601020−1−3−11]R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}
      Dividir R2 por -2
    2. R1→R1−1R2, R3→R3+1R2: [1014010200−3−9]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -9\end{bmatrix}
      Zerar a coluna 2 usando o pivô em R2
    3. R3→1−3R3: [101401020013]R_{3} \to \tfrac{1}{-3} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Dividir R3 por -3
    4. R1→R1−1R3: [100101020013]R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Zerar a coluna 3 usando o pivô em R3
  4. 4. Passos, parte 3
    1. [100101020013]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Forma escalonada reduzida
    2. x=1, y=2, z=3x = 1,\ y = 2,\ z = 3
      Ler a solução única
  5. 5. A resposta
    x=1, y=2, z=3x = 1,\ y = 2,\ z = 3

    x + y + z = 6; x - y + z = 2; 2x + y - z = 1 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3

  6. 6. Verificação
    • Equação 1: x + y + z = 6 ✓
    • Equação 2: x - y + z = 2 ✓
    • Equação 3: 2x + y - z = 1 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Resolva o sistema x mais y mais z igual a 6, x menos y mais z igual a 2, 2x mais y menos z igual a 1. 3 equações lineares com 3 incógnitas (x, y, z).

Passos, parte 1. Escrever cada equação na forma padrão. Passar todos os termos com variáveis para a esquerda e as constantes para a direita. Montar a matriz aumentada [A | b]. Colunas: x, y, z | constante. Eliminação de Gauss-Jordan. Usar operações elementares sobre as linhas para tornar cada pivô 1 e zerar o resto da sua coluna. Zerar a coluna 1 usando o pivô em R1.

Passos, parte 2. Dividir R2 por menos 2. Zerar a coluna 2 usando o pivô em R2. Dividir R3 por menos 3. Zerar a coluna 3 usando o pivô em R3.

Passos, parte 3. Forma escalonada reduzida. Ler a solução única.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a 1, y igual a 2, z igual a 3. O sistema tem exatamente uma solução; substituindo-a de volta, todas as equações são satisfeitas.

Verificação. Equação 1: x mais y mais z igual a 6, o que confere. Equação 2: x menos y mais z igual a 2, o que confere. Equação 3: 2x mais y menos z igual a 1, o que confere.

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