Раскрытие скобок и разложениеАлгебраСтаршая школа≈ 1:18

Разложите на множители x⁴ - 81

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9).

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$x^{4} - 81$
2. Шаги, часть 1
1. $x^{4} - 81$
  Записываем многочлен в стандартном виде
2. Замечаем особую формулу
3. Применяем теорему о рациональных корнях
4. $x^{4} - 81 = (x + 3)\left(x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27\right)$
  Делим на (x + 3) по схеме Горнера в точке x = -3
3. Шаги, часть 2
1. $x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27 = (x - 3)\left(x^{2} + 9\right)$
  Делим на (x - 3) по схеме Горнера в точке x = 3
2. Проверяем оставшийся квадратный трёхчлен
3. $(x - 3)(x + 3)(x^{2} + 9)$
  Записываем полное разложение
4. Ответ
$(x - 3)(x + 3)(x^{2} + 9)$
x^4 - 81 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)
5. Проверка
- Раскрыв скобки в (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9), снова получаем x^4 - 81.

Расшифровка

Задача. Вот задача: x в степени 4 минус 81. Раскладываем многочлен на множители над полем рациональных чисел.

Шаги, часть 1. Записываем многочлен в стандартном виде. Замечаем особую формулу. Оставшийся множитель — разность квадратов: a в квадрате минус b в квадрате равно (a минус b)(a плюс b). Применяем теорему о рациональных корнях. У любого рационального корня p/q число p делит свободный член минус 81, а q делит старший коэффициент 1. Проверка этих кандидатов даёт корни минус 3, 3. Делим на (x плюс 3) по схеме Горнера в точке x равно минус 3.

Шаги, часть 2. Делим на (x минус 3) по схеме Горнера в точке x равно 3. Проверяем оставшийся квадратный трёхчлен. Его дискриминант равен минус 36, то есть отрицателен, поэтому трёхчлен неприводим над рациональными числами. Записываем полное разложение.

Ответ. Итак, ответ: (x минус 3)(x плюс 3)(x в квадрате плюс 9). x в степени 4 минус 81 полностью раскладывается над рациональными числами как (x минус 3)(x плюс 3)(x в квадрате плюс 9).

Проверка. Раскрыв скобки в (x минус 3)(x плюс 3)(x в квадрате плюс 9), снова получаем x в степени 4 минус 81.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки