Тригонометрические уравненияТригонометрияСтаршая школа≈ 1:38

Найдите arctan(-1) и все углы в [0°, 360°) при tan x = -1

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: arctan(-1) = -45° (-π/4); решения в [0°, 360°): 135°, 315°; общий: x = -45° + 180°n.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите arctan(-1) и все углы в [0°, 360°) при tan x = -1

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
Найдите arctan(-1) и все углы в [0°, 360°) при tan x = -1
2. Пошагово
1. $\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}$
  Главное значение arctan, взятое в диапазоне (−π/2, π/2)
2. $\tan(x + 180^\circ) = \tan x$
  tan повторяется каждые 180°, поэтому добавляем кратные 180°
3. $x = 135^\circ,\ 315^\circ \quad (\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4})$
  Решения в пределах одного полного оборота, 0° ≤ x < 360°
4. $x = -45^\circ + 180^\circ n$
  Общее решение, n — любое целое число
3. Ответ
$\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4},\quad x = -45^\circ + 180^\circ n$
arctan(-1) = -45°
4. Проверка
- Подставляем каждое решение обратно: tan(135°) ≈ -1; tan(315°) ≈ -1.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите arctan(минус 1) и все углы в [0°, 360°) при tan x равно минус 1. Найдём угол, тангенс которого равен минус 1: главное значение arctan, все решения tan(x) равно минус 1 в пределах одного оборота и общее решение.

Пошагово. Главное значение arctan, взятое в диапазоне (−пи/2, пи/2). минус 45° — табличный угол, поэтому ответ точный. tan повторяется каждые 180°, поэтому добавляем кратные 180°. Решения в пределах одного полного оборота, 0° меньше или равно x меньше 360°. Общее решение, n — любое целое число.

Ответ. Итак, ответ: arctan(минус 1) равно минус 45° (-пи/4); решения в [0°, 360°): 135°, 315°; общий: x равно минус 45° плюс 180°n. Обратная тригонометрическая функция возвращает один угол — главное значение. Поскольку тригонометрические функции периодичны, уравнение tan(x) равно минус 1 имеет бесконечно много решений; калькулятор выводит решения в пределах одного оборота и общую формулу.

Проверка. Подставляем каждое решение обратно: tan(135°) приблизительно минус 1; tan(315°) приблизительно минус 1.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки