Тригонометрические уравненияТригонометрияСтаршая школа≈ 2:10

Найдите arccos(0.25) и все углы в [0°, 360°) при cos x = 0.25

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: arccos(0.25) = 75.52248781° (1.318116072 rad); решения в [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; общий: x = ±75.52248781° + 360°n.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите arccos(0.25) и все углы в [0°, 360°) при cos x = 0.25

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
Найдите arccos(0.25) и все углы в [0°, 360°) при cos x = 0.25
2. Пошагово
1. $\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ = 1.318116072\text{ рад}$
  Главное значение arccos, взятое в диапазоне [0, π]
2. $\cos(-x) = \cos x$
  Косинус — чётная функция, поэтому x и −x (то есть 360° − x)) дают одно и то же значение
3. $x = 75.52248781^\circ,\ 284.4775122^\circ \quad (1.318116072,\ 4.965069236)$
  Решения в пределах одного полного оборота, 0° ≤ x < 360°
4. $x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
  Общее решение, n — любое целое число
3. Ответ
$\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ \approx 1.318116072,\quad x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
arccos(0.25) = 75.52248781°
4. Проверка
- Подставляем каждое решение обратно: cos(75.52248781°) ≈ 0.25; cos(284.4775122°) ≈ 0.25.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите arccos(0.25) и все углы в [0°, 360°) при cos x равно 0.25. Найдём угол, косинус которого равен 0.25: главное значение arccos, все решения cos(x) равно 0.25 в пределах одного оборота и общее решение.

Пошагово. Главное значение arccos, взятое в диапазоне [0, пи]. Это значение не является табличным, поэтому угол приводится в десятичных дробях. Косинус — чётная функция, поэтому x и минус x (то есть 360° минус x)) дают одно и то же значение. Решения в пределах одного полного оборота, 0° меньше или равно x меньше 360°. Общее решение, n — любое целое число.

Ответ. Итак, ответ: arccos(0.25) равно 75.52248781° (1.318116072 rad); решения в [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; общий: x равно плюс-минус 75.52248781° плюс 360°n. Обратная тригонометрическая функция возвращает один угол — главное значение. Поскольку тригонометрические функции периодичны, уравнение cos(x) равно 0.25 имеет бесконечно много решений; калькулятор выводит решения в пределах одного оборота и общую формулу.

Проверка. Подставляем каждое решение обратно: cos(75.52248781°) приблизительно 0.25; cos(284.4775122°) приблизительно 0.25.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки