三角方程三角学高中≈ 2:10

求 [0°, 360°) 中 cos 为 x = 0.25 的 arccos(0.25)

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: arccos(0.25) = 75.52248781° (1.318116072 rad); 解在 [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; 通解: x = ±75.52248781° + 360°n.

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原题（英语）：求 [0°, 360°) 中 cos 为 x = 0.25 的 arccos(0.25)

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求 [0°, 360°) 中 cos 为 x = 0.25 的 arccos(0.25)
2. 逐步讲解
1. $\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ = 1.318116072\text{ rad}$
  arccos 的主值，取值范围为 [0, π]
2. $\cos(-x) = \cos x$
  余弦是偶函数，所以 x 和 −x（即 360° − x)）得到相同的值
3. $x = 75.52248781^\circ,\ 284.4775122^\circ \quad (1.318116072,\ 4.965069236)$
  一圈内的解，0° ≤ x < 360°
4. $x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
  通解，n 为任意整数
3. 答案
$\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ \approx 1.318116072,\quad x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
arccos(0.25) = 75.52248781°
4. 检验
- 将每个解代回检验：cos(75.52248781°) ≈ 0.25；cos(284.4775122°) ≈ 0.25。

文字稿

题目. 题目是：求 [0°, 360°) 中 cos 为 x 等于 0.25 的 arccos(0.25). 求余弦值为 0.25 的角：arccos 的主值、一圈内的所有解 cos(x) 等于 0.25，以及通解。

逐步讲解. arccos 的主值，取值范围为 [0, 派]. 该值不是标准的精确值，因此该角以小数形式给出。余弦是偶函数，所以 x 和负 x（即 360° 减 x)）得到相同的值. 一圈内的解，0° 小于等于 x 小于 360°. 通解，n 为任意整数.

答案. 所以答案是 arccos(0.25) 等于 75.52248781° (1.318116072 rad); 解在 [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; 通解: x 等于正负 75.52248781° 加 360°n. 反三角函数返回一个角，即主值。由于三角函数具有周期性，方程 cos(x) 等于 0.25 有无穷多个解；计算器列出了一圈内的解和通解形式。

检验. 将每个解代回检验：cos(75.52248781°) 约等于 0.25；cos(284.4775122°) 约等于 0.25。

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