Statistika

Cara Menghitung Simpangan Baku (Sampel dan Populasi)

Penulis MathSolver Pro Editorial Team · Diterbitkan 25 Oktober 2026

Simpangan baku menunjukkan seberapa jauh biasanya data berada dari rata-rata. Panduan ini menunjukkan perhitungannya langkah demi langkah, menjelaskan kapan membagi dengan n dan kapan dengan n dikurangi 1, serta bagaimana menafsirkan hasilnya sesudahnya.

Apa yang diukur oleh simpangan baku?

Rata-rata menunjukkan di mana pusat suatu kumpulan data, tetapi tidak menunjukkan seberapa rapat nilai-nilai berkumpul di sekitarnya. Simpangan baku mengisi kekosongan itu. Simpangan baku yang kecil berarti nilai-nilai dekat dengan rata-rata, sedangkan simpangan baku yang besar berarti nilai-nilai sangat tersebar. Satuannya sama dengan satuan data: simpangan baku tinggi badan sebesar 5 sentimeter berarti tinggi badan yang khas berjarak kira-kira 5 sentimeter dari rata-rata.

Perhitungannya bertumpu pada logika yang sederhana. Ukur jarak setiap nilai ke rata-rata, kuadratkan jarak-jarak itu agar nilai di atas dan di bawah rata-rata tidak saling meniadakan, cari rata-rata kuadratnya, lalu akhirnya ambil akar kuadrat untuk kembali ke satuan semula. Jika ingin mengulang konsep rata-rata, mulailah dengan artikel rata-rata, median, modus, dan simpangan baku.

Dua rumus

Ada dua versi, bergantung pada apakah data Anda mencakup seluruh populasi atau merupakan sampel yang diambil dari populasi yang lebih besar:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Simpangan baku populasi $\sigma$ membagi dengan banyaknya nilai $N$ . Simpangan baku sampel $s$ membagi dengan $n - 1$ . Besaran di bawah tanda akar adalah variansi, yang dilambangkan $\sigma^2$ atau $s^2$ . Variansi berguna dalam teori, tetapi satuannya dikuadratkan, misalnya sentimeter persegi; karena itu yang biasanya dilaporkan adalah simpangan baku.

Lima langkah dengan tangan

Contoh 1: simpangan baku lima nilai

Data: 6, 8, 10, 12, 14. Langkah 1, cari rata-ratanya: $\frac{50}{5} = 10$ .
Langkah 2, kurangkan rata-rata dari setiap nilai: $-4, -2, 0, 2, 4$ .
Langkah 3, kuadratkan setiap simpangan: $16, 4, 0, 4, 16$ .
Langkah 4, jumlahkan kuadrat-kuadratnya: $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ .
Langkah 5, bagi lalu ambil akar kuadrat. Untuk populasi: $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ . Untuk sampel: $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ .

Tabel dengan kolom $x$ , $x - \bar{x}$ , dan $(x - \bar{x})^2$ membantu menjaga pekerjaan tetap rapi. Pemeriksaan yang berguna: jumlah simpangan pada kolom kedua selalu nol. Jika tidak, rata-ratanya salah, begitu pula semua yang dihitung sesudahnya.

Mengapa sampel dibagi dengan n dikurangi 1?

Saat bekerja dengan sampel, Anda tidak mengetahui rata-rata populasi yang sebenarnya; karena itu Anda mengukur simpangan dari rata-rata sampel. Namun, menurut definisinya, rata-rata ini adalah titik yang membuat jumlah kuadrat simpangan sampel itu sekecil mungkin. Akibatnya, simpangan yang diukur darinya rata-rata sedikit lebih kecil daripada simpangan yang akan diukur dari rata-rata yang sebenarnya.

Membagi dengan $n - 1$ , bukan $n$ , mengimbangi efek ini dan menjadikan variansi sampel penaksir tak bias bagi variansi populasi. Koreksi ini disebut koreksi Bessel. Koreksi ini juga dapat dilihat dari sudut derajat kebebasan: jika rata-rata dan $n - 1$ simpangan sudah diketahui, simpangan terakhir sudah tertentu, karena jumlahnya harus nol. Hanya $n - 1$ simpangan yang membawa informasi independen.

Dalam praktik, gunakan rumus sampel jika data Anda tidak benar-benar mencakup semua anggota kelompok yang Anda minati; jika mencakup, misalnya nilai semua siswa di satu kelas ketika yang penting hanya kelas itu, rumus populasi yang tepat.

Rumus singkat dan tabel frekuensi

Rumus yang setara secara aljabar membebaskan Anda dari keharusan menghitung setiap simpangan satu per satu:

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

Untuk data pada Contoh 1, $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ ; jadi, seperti sebelumnya, $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ . Dengan tangan, cara ini cepat, tetapi komputer menghindarinya untuk bilangan yang besar atau sangat presisi, karena mengurangkan dua bilangan besar yang sangat berdekatan menurunkan ketelitian.

Contoh 2: data dalam tabel frekuensi

Sebuah survei mencatat jumlah hewan peliharaan di 10 keluarga: nilai 1 muncul 2 kali, nilai 2 muncul 5 kali, dan nilai 3 muncul 3 kali.
Rata-rata: $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ .
Kuadrat simpangan berbobot: $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ .
Untuk sampel: $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ . Untuk populasi: $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ .

Bagaimana menafsirkan hasilnya?

Untuk data yang kira-kira mengikuti distribusi normal berbentuk lonceng, aturan empiris memberi simpangan baku tafsiran yang konkret: kira-kira 68 persen nilai berjarak kurang dari satu simpangan baku dari rata-rata, kira-kira 95 persen kurang dari dua simpangan baku, dan kira-kira 99,7 persen kurang dari tiga simpangan baku. Jika rata-rata tinggi badan sekelompok orang dewasa 170 sentimeter dan simpangan bakunya 8, tinggi badan kira-kira 95 persen anggota kelompok itu berada di antara 154 dan 186 sentimeter.

Untuk data dengan bentuk apa pun, ketaksamaan Chebyshev tetap menjamin bahwa sekurang-kurangnya 75 persen nilai berjarak kurang dari dua simpangan baku dari rata-rata, dan sekurang-kurangnya kira-kira 89 persen kurang dari tiga simpangan baku. Menyatakan jarak suatu nilai ke rata-rata dalam satuan simpangan baku menghasilkan skor z, yang memungkinkan perbandingan nilai-nilai yang diukur dengan skala berbeda.

Simpangan baku juga bereaksi terhadap transformasi data dengan cara yang dapat diperkirakan. Jika semua nilai ditambah konstanta yang sama, rata-ratanya bergeser, tetapi sebarannya tetap sehingga simpangan baku tidak berubah. Jika semua nilai dikalikan suatu konstanta, simpangan baku dikalikan nilai mutlak konstanta itu: beralih dari meter ke sentimeter mengalikannya dengan 100.

Dengan kalkulator atau lembar kerja

Kalkulator ilmiah biasanya memiliki dua tombol: untuk versi populasi umumnya ditandai $\sigma_x$ atau $\sigma_n$ , sedangkan untuk versi sampel $s_x$ atau $\sigma_{n-1}$ . Di Excel, fungsi STDEV.P menghitung simpangan baku populasi dan STDEV.S menghitung simpangan baku sampel; fungsi lama STDEV juga memberikan nilai sampel. Memilih fungsi yang salah adalah penyebab paling umum hasil yang tidak cocok.

Kalkulator simpangan baku menampilkan kedua versi lengkap dengan tabel simpangan; sangat cocok untuk memeriksa pekerjaan rumah yang dikerjakan dengan tangan. Kalkulator rata-rata, median, dan modus melengkapi ukuran-ukuran lainnya, sedangkan kalkulator skor z memakai hasilnya untuk membakukan nilai-nilai satu per satu.

Membandingkan sebaran pada skala yang berbeda

Simpangan baku sulit dibandingkan bila rata-ratanya sangat berbeda. Simpangan baku 2 kg sangat besar untuk bayi baru lahir, tetapi tidak berarti untuk gajah dewasa. Koefisien variasi mengatasi masalah ini dengan membagi simpangan baku dengan rata-rata; biasanya dinyatakan dalam persen. Dua investasi dengan rata-rata imbal hasil tahunan 6 dan 9 persen serta simpangan baku 3 dan 9 poin persen memiliki koefisien variasi 50 dan 100 persen: investasi kedua dua kali lebih bergejolak dibandingkan imbal hasil khasnya.

Kesalahan khas

Lupa mengkuadratkan simpangan; akibatnya nilai positif dan negatif saling meniadakan dan hasilnya nol.
Lupa mengambil akar kuadrat di akhir dan melaporkan variansi alih-alih simpangan baku.
Mencampuradukkan rumus sampel dengan rumus populasi, atau menekan tombol yang salah pada kalkulator.
Membulatkan rata-rata terlalu banyak sebelum menghitung simpangan; akibatnya galat pembulatan menumpuk.
Memperlakukan tabel frekuensi seolah-olah setiap nilai hanya muncul satu kali.

Pertanyaan yang sering diajukan

Simpangan baku mana yang dipakai: sampel atau populasi?

Gunakan rumus populasi hanya jika data Anda mencakup semua anggota kelompok yang ingin Anda gambarkan. Jika datanya sampel yang Anda gunakan untuk menarik kesimpulan tentang kelompok yang lebih besar, seperti yang biasanya terjadi, gunakan rumus sampel dengan $n - 1$ .

Mengapa diambil akar kuadrat dari variansi?

Variansi adalah rata-rata kuadrat simpangan dari rata-rata; simpangan baku adalah akar kuadratnya. Keduanya membawa informasi yang sama, tetapi simpangan baku lebih mudah ditafsirkan karena dinyatakan dalam satuan semula.

Apa arti simpangan baku nol?

Artinya semua nilai dalam kumpulan data sama, yaitu sama sekali tidak ada sebaran. Variasi sekecil apa pun membuat simpangan baku positif secara tegas.

Apakah simpangan baku yang besar itu buruk?

Belum tentu. Artinya hanya bahwa data sangat tersebar. Baik atau buruknya bergantung pada konteks: fluktuasi besar pada waktu pengiriman itu buruk, sedangkan fluktuasi besar dalam percobaan pemuliaan tanaman bisa jadi persis yang diharapkan para peneliti.

MathSolver Pro Editorial Team

Penyuntingan dan pemeriksaan matematika

Tim editor kami menulis setiap panduan agar tidak hanya menjelaskan jawabannya, tetapi juga penalaran di balik setiap metode. Setiap contoh soal diperiksa dengan mesin penyelesai situs dan uji otomatis sebelum diterbitkan; jika suatu metode atau format ujian berubah, artikel segera diperbarui.