Kalkulator Simpangan Baku

Tentang kalkulator simpangan baku

Simpangan baku menunjukkan seberapa jauh data tersebar di sekitar rata-ratanya. Simpangan baku yang kecil berarti nilai-nilainya dekat dengan rata-rata, sedangkan simpangan baku yang besar berarti nilai-nilainya tersebar luas.

Gunakan rumus populasi jika data mencakup semua anggota kelompok yang Anda teliti, dan gunakan rumus sampel yang membagi dengan $n-1$ jika data merupakan sampel yang dipakai untuk menduga populasi yang lebih luas.

Apa yang diukur oleh simpangan baku?

Simpangan baku mengukur seberapa jauh suatu himpunan bilangan tersebar di sekitar rata-ratanya sendiri. Jika kecil, nilai-nilainya dekat dengan rata-rata; jika besar, nilai-nilainya tersebar luas. Dua kelas bisa saja memperoleh nilai rata-rata ujian yang sama, yaitu 70; tetapi jika simpangan baku kelas yang satu 3 dan kelas lainnya 15, hasil kelas pertama merata, sedangkan di kelas kedua ada siswa yang tertinggal sekaligus siswa yang sangat kuat.

Simpangan baku dihitung dari simpangan, yaitu jarak setiap nilai ke rata-rata. Jumlah simpangan-simpangan ini selalu nol; karena itu simpangan dikuadratkan lebih dulu sebelum dirata-ratakan, dan diperoleh ragam. Akar kuadrat dari ragam mengembalikan hasilnya ke satuan semula: simpangan baku tinggi badan yang diukur dalam sentimeter juga dinyatakan dalam sentimeter.

Cara menggunakan kalkulator simpangan baku

Ketik atau tempelkan bilangan dengan memisahkannya menggunakan koma, spasi, atau baris baru.
Pilih «Sampel» atau «Populasi».
Tekan «Hitung» untuk melihat rata-rata, kuadrat simpangan, ragam, dan simpangan bakunya.

Rumus

Simpangan baku populasi

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Simpangan baku sampel

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Ragam kumpulan data

\sigma^2,\ s^2 = (\text{simpangan baku})^2

Contoh soal dan pembahasan: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (sampel)

Contoh soal memperlakukan bilangan 4, 8, 6, 5, 3, 7 sebagai sampel. Rata-ratanya $\frac{33}{6} = 5.5$ . Simpangannya $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , dan jumlah kuadratnya 17,5. Setelah dibagi dengan $n - 1 = 5$ , diperoleh ragam sampel 3,5; akar kuadratnya adalah simpangan baku sampel, $s \approx 1.870828693$ . Sebagai perbandingan: jika keenam bilangan yang sama dianggap sebagai seluruh populasi, pembaginya 6 dan diperoleh $\sigma \approx 1.707825128$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

s = 1.870828693

Cara kami membaca soal Anda

Perlakukan data sebagai sampel dari populasi yang lebih besar (koreksi Bessel, bagi dengan n − 1).

Pembahasan langkah demi langkah

Tentukan mean
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Kuadratkan setiap simpangan dari mean
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Jumlahkan kuadrat simpangannya
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Bagi dengan n − 1 untuk memperoleh ragam sampel
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Tarik akar kuadratnya
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Rumus yang digunakan

Simpangan baku sampel
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Simpangan baku populasi
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

Simpangan baku mengukur seberapa tersebar nilai-nilai di sekitar mean. Nilai yang kecil berarti data mengumpul di dekat mean.

Pemeriksaan

Ragam = 3.5, dan 1.870828693² = 3.5
Simpangan baku populasi sebagai pembanding: 1.707825128

Penjelasan lengkap

Dalam praktik: sampel atau populasi?

Kedua rumus hanya berbeda pada penyebutnya, tetapi pada kumpulan data kecil pilihan ini penting. Jika bilangan-bilangannya berasal dari semua anggota kelompok yang Anda teliti, misalnya nilai seluruh 25 siswa di satu kelas, gunakan rumus populasi dengan $N$ . Jika datanya sampel yang dipakai untuk menduga sebaran pada kelompok yang lebih besar, misalnya 25 siswa yang dipilih acak dari seluruh sekolah, gunakan rumus sampel dengan $n - 1$ . Pada contoh kedua kalkulator, untuk populasi 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, rata-ratanya 5 dan jumlah kuadrat simpangannya 32; karena itu $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

Bagaimana menafsirkan hasilnya?

Untuk data yang sebarannya berbentuk lonceng, aturan empiris menyatakan bahwa kira-kira 68% nilai berjarak kurang dari satu simpangan baku dari rata-rata, kira-kira 95% berjarak kurang dari dua, dan kira-kira 99,7% berjarak kurang dari tiga. Karena itu nilai yang berjarak lebih dari dua simpangan baku dari rata-rata tergolong tidak biasa. Jika jarak suatu nilai ke rata-rata dibagi dengan simpangan baku, diperoleh skor-z, yang memungkinkan perbandingan hasil pada skala yang berbeda, misalnya nilai ujian dan catatan waktu lari.

Karena simpangannya dikuadratkan, simpangan baku peka terhadap pencilan, dan satu nilai ekstrem saja dapat membuatnya jauh lebih besar. Untuk data yang sangat menceng, jangkauan antarkuartil sering kali menggambarkan sebaran dengan lebih baik.

Kesalahan yang sering terjadi

Memakai $n$ , bukan $n - 1$ , untuk sampel sehingga sebarannya tampak lebih kecil daripada yang sebenarnya.
Lupa mengkuadratkan simpangan; akibatnya simpangan positif dan negatif saling meniadakan hingga nol.
Memberikan ragam ketika yang ditanyakan simpangan baku.
Membulatkan rata-rata sebelum menghitung simpangan sehingga semua kuadratnya ikut keliru.
Lupa menarik akar kuadrat di akhir lalu menyajikan ragam sebagai simpangan baku.

Kiat

Pada data berbentuk lonceng, kira-kira 68% nilai berjarak kurang dari satu simpangan baku dari rata-rata.
Simpangan baku diukur dalam satuan yang sama dengan datanya; ragam diukur dalam kuadrat satuan itu.
Menggeser semua nilai sejauh konstanta yang sama tidak mengubah simpangan baku.
Jika suatu konstanta ditambahkan ke semua nilai, simpangan bakunya tidak berubah; jika semua nilai dikalikan $k$ , simpangan bakunya dikalikan $|k|$ .
Gunakan kalkulator skor-z untuk mengetahui berapa simpangan baku jarak suatu nilai tertentu dari rata-rata.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu simpangan baku?

Akar kuadrat dari rata-rata kuadrat simpangan terhadap rata-rata. Simpangan baku menunjukkan seberapa jauh suatu nilai biasanya berada dari rata-rata.

Rumus mana yang harus dipakai: sampel atau populasi?

Rumus populasi jika Anda memiliki data seluruh kelompok. Rumus sampel jika data merupakan bagian yang dipakai untuk menggambarkan kelompok yang lebih besar; keadaan ini lebih sering dijumpai.

Mengapa rumus sampel membagi dengan n − 1?

Rata-rata sampel lebih dekat ke nilai-nilai dalam sampel daripada rata-rata yang sebenarnya, sehingga simpangannya cenderung lebih kecil. Membagi dengan $n-1$ (koreksi Bessel) mengimbangi efek ini dan memberikan penduga ragam yang tak bias.

Bisakah simpangan baku bernilai nol?

Bisa, jika dan hanya jika semua nilainya sama. Simpangan baku tidak mungkin negatif.

Berapa banyak nilai yang diperlukan?

Untuk simpangan baku populasi, satu nilai saja cukup (hasilnya 0). Rumus sampel memerlukan sedikitnya dua nilai.

Apa perbedaan ragam dan simpangan baku?

Ragam adalah rata-rata kuadrat simpangan; simpangan baku adalah akar kuadratnya dan mengembalikan ukuran itu ke satuan data.

Simpangan baku seperti apa yang tergolong rendah atau tinggi?

Tidak ada batas yang berlaku umum: semuanya bergantung pada skala datanya. Untuk mengetahui apakah sebarannya besar dibandingkan nilai-nilai yang khas, bandingkan dengan rata-ratanya atau gunakan koefisien variasi $\frac{s}{\bar x}$ .

Bagaimana pencilan memengaruhi simpangan baku?

Pengaruhnya kuat, karena setiap simpangan dikuadratkan. Jika pada contoh tertulis 70, bukan 7, simpangan baku sampelnya naik dari kira-kira 1,87 menjadi lebih dari 26.

Coba kalkulator simpangan baku

Tempelkan data Anda; dapatkan rata-rata, ragam, dan simpangan bakunya beserta penjelasan setiap langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI