Kalkulator Permutasi dan Kombinasi

Tentang kalkulator permutasi dan kombinasi

Kebanyakan soal pencacahan bertumpu pada satu pertanyaan: apakah urutan objek yang dipilih itu penting? Menempatkan pelari di podium adalah permutasi, karena «emas — perak — perunggu» tidak sama dengan «perunggu — perak — emas». Memilih tiga orang untuk sebuah panitia adalah kombinasi, karena tiga orang yang sama membentuk panitia yang sama dalam urutan apa pun mereka dipilih.

Kalkulator mencakup empat keadaan baku: permutasi dan kombinasi tanpa pengulangan, permutasi dengan pengulangan (misalnya kode PIN yang tersusun dari angka), dan kombinasi dengan pengulangan (misalnya memilih skop es krim dari beberapa rasa). Kalkulator bekerja dengan bilangan bulat eksak: bahkan cacah yang sangat besar, seperti banyaknya kombinasi kartu poker, diberikan secara utuh tanpa pembulatan.

Apa itu permutasi dan kombinasi?

Permutasi adalah daftar terurut berisi $r$ objek yang dipilih dari $n$ objek berbeda. Banyaknya adalah $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ , yaitu hasil kali $r$ faktor pertama dari $n!$ . Kombinasi adalah pemilihan yang tidak memperhatikan urutan, dan banyaknya $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Keduanya saling berkaitan: setiap kombinasi yang terdiri atas $r$ objek dapat diurutkan dengan $r!$ cara yang berbeda, sehingga $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . Kalkulator memeriksa setiap hasil permutasi dan kombinasi dengan kesamaan ini.

Cara menggunakan kalkulator permutasi dan kombinasi

Pilih apa yang ingin Anda cacah: kombinasi, permutasi, permutasi dengan pengulangan, atau kombinasi dengan pengulangan.
Masukkan banyaknya seluruh objek, n.
Masukkan banyaknya objek yang dipilih, r.
Tekan «Hitung».
Pelajari hasilnya, rumus yang dipakai, dan langkah-langkah penyederhanaannya.

Rumus

Permutasi

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Kombinasi

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Permutasi dengan pengulangan

n^r

Kombinasi dengan pengulangan

\binom{n + r - 1}{r}

Contoh soal dan pembahasan: C(10, 3)

Contoh soal mencari $C(10, 3)$ , yaitu banyaknya cara memilih 3 objek dari 10 objek jika urutannya tidak penting. Mula-mula dihitung pemilihan yang terurut: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Setiap kelompok tiga objek muncul $3! = 6$ kali dalam daftar itu, sekali untuk setiap kemungkinan urutan; karena itu $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . Pemeriksaannya membenarkan hal ini: $120 \times 6 = 720$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

120

Cara kami membaca soal Anda

Kombinasi nCr (urutan tidak diperhatikan)

Pembahasan langkah demi langkah

Gunakan rumus kombinasi
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Bagi banyak permutasi dengan r! karena urutan tidak diperhatikan
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Rumus yang digunakan

Kombinasi nCr (urutan tidak diperhatikan)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Ada 120 cara memilih 3 objek dari 10 jika urutan tidak diperhatikan.

Pemeriksaan

Pemeriksaan: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Penjelasan lengkap

Mengapa faktorial dapat disederhanakan?

$\frac{n!}{(n-r)!}$ tampaknya memerlukan bilangan yang sangat besar, tetapi kebanyakan faktornya saling meniadakan. Untuk $P(8, 3)$ hanya tersisa $8 \times 7 \times 6 = 336$ : delapan pilihan untuk urutan pertama, tujuh untuk urutan kedua, dan enam untuk urutan ketiga. Kalkulator menampilkan penyederhanaan ini alih-alih menghitung faktorial lengkapnya.

Kombinasi tidak membedakan $r!$ urutan dari setiap pemilihan. Karena itu $C(n, r)$ tidak pernah lebih besar daripada $P(n, r)$ , dan karena itu pula $C(n, r) = C(n, n - r)$ : memilih $r$ objek yang akan dibawa sama saja dengan memilih $n - r$ objek yang akan ditinggalkan.

Pencacahan dengan pengulangan

Jika objek boleh berulang dan urutan penting, ada $n$ pilihan untuk masing-masing dari $r$ posisi; hasilnya $n^r$ . Kode PIN empat digit yang tersusun dari angka memiliki $10^4 = 10{,}000$ kemungkinan.

Jika objek boleh berulang tetapi urutan tidak penting, metode bintang dan garis menghasilkan $\binom{n + r - 1}{r}$ . Dari 3 rasa, 4 skop es krim dengan pengulangan dapat dipilih dengan $\binom{6}{4} = 15$ cara yang berbeda. Pada mode ini, $r$ boleh lebih besar daripada $n$ .

Bilangan besar dan kasus khusus

Banyaknya kombinasi lima kartu poker yang berbeda adalah $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ ; berkat aritmetika bilangan bulat, kalkulator menyimpan hasil seperti ini secara eksak. Karena ada tepat satu cara untuk tidak memilih apa pun, secara kesepakatan ditetapkan $C(n, 0) = 1$ .

Tanpa pengulangan, kita tidak dapat memilih lebih banyak objek daripada yang tersedia. Jika Anda meminta $C(3, 5)$ , pesan yang jelas akan menyarankan mode dengan pengulangan atau $r$ yang lebih kecil, alih-alih menampilkan nol yang tidak bermakna.

Kombinasi dan segitiga Pascal

Nilai-nilai $C(n, r)$ membentuk segitiga Pascal, tempat setiap bilangan sama dengan jumlah dua bilangan tepat di atasnya: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . Hubungan ini memiliki penjelasan kombinatorik. Tetapkan satu objek; setiap pemilihan bisa memuat objek itu, sehingga perlu dipilih $r - 1$ objek dari $n - 1$ objek sisanya, atau tidak memuatnya, sehingga semua $r$ objek dipilih dari $n - 1$ objek sisanya.

Bilangan-bilangan yang sama merupakan koefisien ekspansi binomial $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ ; dari sinilah nama koefisien binomial berasal. Jumlah seluruh bilangan dalam satu baris adalah $2^n$ , yaitu banyaknya semua himpunan bagian dari himpunan yang beranggotakan $n$ objek, karena setiap objek bisa masuk atau tidak masuk ke himpunan bagian.

Kesalahan yang sering terjadi

Memakai permutasi padahal urutan tidak penting, sehingga jawabannya menjadi $r!$ kali lebih besar.
Memakai kombinasi untuk daftar terurut seperti kode PIN, peringkat, atau susunan tempat duduk.
Lupa bahwa pengulangan mengubah rumusnya sama sekali.
Menghitung faktorial lengkap secara manual alih-alih menyederhanakannya, sehingga rawan salah.
Mengambil nilai r yang lebih besar daripada n padahal objek tidak boleh berulang.

Kiat

Tanyakan pada diri sendiri: «Jika dua objek yang dipilih saya tukar, apakah hasilnya berbeda?» Jika ya, itu permutasi.
Gunakan kesamaan $C(n, r) = C(n, n - r)$ untuk mempermudah perhitungan manual.
Pecah soal yang rumit menjadi beberapa tahap dan kalikan banyaknya pilihan pada setiap tahap (aturan perkalian).
Untuk mengubah suatu cacah menjadi peluang, bagilah dengan banyaknya seluruh hasil yang mungkin.
Jika yang diperlukan peluang k keberhasilan, bukan sekadar cacahnya, gunakan mode binomial pada kalkulator peluang.
Perkirakan lebih dulu: jika banyaknya kombinasi lebih besar daripada banyaknya permutasi yang bersesuaian, ada yang salah.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa perbedaan permutasi dan kombinasi?

Permutasi mencacah daftar terurut, sedangkan kombinasi mencacah pemilihan yang tidak memperhatikan urutan. Memilih 3 objek dari 10 objek menghasilkan 720 permutasi, tetapi hanya 120 kombinasi.

Bagaimana cara mencari banyaknya kombinasi?

Gunakan rumus n! ÷ (r!(n − r)!). Dalam praktiknya, kalikan r faktor pertama dari n! lalu bagi dengan r!. Untuk C(10, 3) diperoleh 720 ÷ 6 = 120.

Bagaimana cara mencari banyaknya permutasi?

Kalikan r faktor pertama dari n!: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Ada berapa kombinasi lima kartu poker?

C(52, 5) = 2.598.960, karena urutan Anda menerima kartu tidak penting.

Apa arti «dengan pengulangan»?

Artinya setiap objek boleh dipilih lebih dari sekali, seperti angka pada kode PIN. Banyaknya pemilihan terurut dengan pengulangan adalah nʳ, sedangkan banyaknya pemilihan tak terurut adalah C(n + r − 1, r).

Mengapa C(n, 0) sama dengan 1?

Karena ada tepat satu cara untuk tidak memilih objek apa pun: pemilihan kosong. Penalaran yang sama menghasilkan 0! = 1.

Bolehkah r lebih besar daripada n?

Hanya jika pengulangan diperbolehkan. Tanpa pengulangan, kalkulator menjelaskan bahwa kita tidak dapat memilih lebih banyak objek daripada yang tersedia.

Coba kalkulator permutasi dan kombinasi

Masukkan nilai n dan r; dapatkan cacah eksaknya, rumusnya, dan penyederhanaan faktorialnya langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI