Dasar-Dasar Teori Peluang: Pengantar Praktis

Hasil, kejadian, dan skala peluang

Teori peluang dimulai dengan suatu percobaan acak, seperti melempar dadu, dan ruang sampelnya, yaitu himpunan semua hasil yang mungkin. Saat sebuah dadu biasa dilempar, himpunan ini adalah $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Kejadian adalah sembarang himpunan hasil; misalnya munculnya bilangan genap, yaitu himpunan $\{2, 4, 6\}$.

Setiap peluang bernilai antara 0 dan 1. Peluang 0 berarti kejadian itu mustahil, 1 berarti pasti, sedangkan 0,5 berarti kemungkinan terjadinya sama dengan kemungkinan tidak terjadinya. Peluang dapat ditulis sebagai pecahan, desimal, atau persen: $\frac{1}{4}$, 0,25, dan 25 persen menyatakan hal yang sama. Jika semua hasil sama mungkin, peluang suatu kejadian adalah perbandingan sederhana:

Dengan kata lain, peluang adalah banyaknya hasil yang diinginkan dibagi banyaknya semua hasil yang mungkin; inilah yang disebut definisi klasik peluang. Karena itu peluang mendapatkan bilangan genap adalah $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Dengan dua dadu ada $6 \times 6 = 36$ hasil berurutan yang sama mungkin, dan enam di antaranya berjumlah 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), dan (6,1); jadi $P(\text{jumlah} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Pada soal yang lebih besar, hasil-hasilnya dihitung dengan metode kombinatorika.

Aturan kejadian komplemen

Komplemen kejadian $A$ memuat semua hal yang tidak termasuk dalam $A$. Karena salah satunya pasti terjadi, jumlah peluang keduanya adalah 1:

Jika soal memuat ungkapan «sekurang-kurangnya satu», cobalah kejadian komplemennya terlebih dahulu. Cara ini hampir selalu mengubah perhitungan yang panjang menjadi perhitungan yang singkat.

Peluang gabungan: A atau B

Peluang terjadinya $A$ atau $B$ atau keduanya diperoleh dengan menjumlahkan peluang masing-masing lalu mengurangkan peluang irisannya, yang jika tidak dikurangkan akan terhitung dua kali:

Jika satu kartu diambil dari satu set 52 kartu, peluang mendapatkan kartu hati atau raja adalah $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, karena raja hati termasuk dalam kedua kelompok. Kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan, seperti munculnya 2 dan 5 dalam satu lemparan, disebut kejadian saling lepas. Irisannya kosong; karena itu peluangnya langsung dijumlahkan.

Peluang irisan: A dan B

Dua kejadian saling bebas jika terjadinya yang satu tidak mengubah peluang yang lain, seperti pada pelemparan koin yang dilakukan terpisah. Untuk kejadian saling bebas, peluang-peluangnya dikalikan:

Jadi peluang mendapatkan dua kali gambar dalam dua lemparan adalah $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Jika kejadiannya tidak saling bebas, peluang kedua harus memperhitungkan apa yang sudah terjadi. Jika dua kartu diambil tanpa pengembalian, peluang mendapatkan dua kartu as adalah $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, karena setelah satu as terambil, hanya ada 3 as di antara 51 kartu yang tersisa.

Peluang bersyarat dan rumus Bayes

Peluang bersyarat adalah peluang $A$ jika diketahui bahwa $B$ telah terjadi, dan dilambangkan $P(A \mid B)$. Mengetahui bahwa $B$ telah terjadi mempersempit ruang sampel menjadi $B$:

Rumus Bayes membalik peluang bersyarat dan mengubah $P(B \mid A)$ menjadi $P(A \mid B)$. Penerapannya yang paling terkenal menunjukkan mengapa hasil positif sebuah tes medis bisa jadi tidak semengkhawatirkan kelihatannya.

Nilai harapan

Nilai harapan suatu permainan atau peubah acak adalah hasil rata-rata dalam jangka panjang; nilai ini diperoleh dengan mengalikan setiap hasil dengan peluangnya lalu menjumlahkan semuanya:

Misalkan sebuah permainan membayar 10 dolar jika dadu menunjukkan angka enam, dan dalam keadaan lain Anda harus membayar 2 dolar. Nilai harapannya $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$: permainan itu adil, dan setelah banyak putaran Anda dapat berharap impas. Permainan kasino dirancang agar nilai harapan bagi pemain sedikit negatif; karena itu, walaupun sebagian pemain sesekali menang, kasino meraup uang dari jutaan taruhan. Asuransi mengikuti prinsip yang sama dari sisi sebaliknya: perusahaan asuransi mengumpulkan premi sedikit lebih banyak daripada yang diperkirakannya akan dibayarkan.

Jebakan khas

• Kekeliruan penjudi: pada roulette yang adil, setelah lima kali merah berturut-turut, hitam tidak «harus» muncul. Setiap putaran saling bebas; karena itu peluangnya tidak berubah.
• Menjumlahkan peluang kejadian yang beririsan tanpa mengurangkan irisannya; ini bisa menghasilkan peluang lebih dari 1.
• Mengalikan peluang kejadian yang tidak saling bebas.
• Mencampuradukkan $P(A \mid B)$ dengan $P(B \mid A)$, seperti pada contoh tes medis.
• Meremehkan kebetulan: dalam kelompok yang hanya terdiri atas 23 orang, peluang dua orang berulang tahun pada hari yang sama kira-kira 50,7 persen.

Hukum bilangan besar menjelaskan apa yang sebenarnya dijamin oleh peluang: jika percobaan diulang berkali-kali, frekuensi relatif suatu kejadian akan stabil di sekitar peluangnya. Namun, hukum itu tidak menjanjikan apa pun tentang rangkaian hasil yang pendek. Kalkulator peluang menyelesaikan kejadian sederhana, majemuk, dan bersyarat langkah demi langkah, sedangkan kalkulator permutasi dan kombinasi menghitung banyaknya hasil yang diperlukan dalam banyak soal peluang.

Diagram pohon untuk soal bertahap

Jika percobaan berlangsung dalam beberapa tahap, diagram pohon membantu agar tidak ada jalur yang terlewat. Tulis peluang pada setiap cabang, kalikan sepanjang jalur untuk memperoleh peluang seluruh rangkaian, lalu jumlahkan jalur-jalur yang membentuk kejadian yang diinginkan.

Diagram pohon membuat aturan jalur terlihat dan dengan jelas menunjukkan di mana peluang berubah dari tahap ke tahap. Diagram pohon juga merupakan cara paling andal untuk menyusun soal rumus Bayes, karena setiap cabang pada tahap kedua adalah peluang bersyarat.

Pertanyaan yang sering diajukan