Skor Z dengan Contoh-Contoh yang Diselesaikan

Apa yang diukur oleh skor z?

Skor mentah saja tidak banyak bercerita. Nilai 85 dalam sebuah ujian tampak bagus, tetapi jika semua orang lain mendapat 95, sebenarnya itu hasil yang lemah. Skor z, atau skor baku, mengatasi masalah ini dengan menilai suatu nilai relatif terhadap kelompoknya sendiri. Skor z menjawab satu pertanyaan: berapa simpangan baku jarak nilai ini dari rata-rata?

Di sini $x$ adalah nilainya, $\mu$ rata-ratanya, dan $\sigma$ simpangan bakunya. Skor z positif berarti nilai itu berada di atas rata-rata, skor z negatif berarti di bawahnya, dan nol berarti tepat sama dengan rata-rata. Skor z sebesar 2 berarti dua simpangan baku di atas rata-rata, dan untuk sebagian besar kumpulan data itu tergolong sangat tinggi. Cara menghitung simpangan baku itu sendiri dapat dibaca dalam artikel cara menghitung simpangan baku.

Menghitung skor z langkah demi langkah

Karena pembilang dan penyebut dinyatakan dalam satuan semula, satuan ukurannya selalu saling menghilangkan. Justru inilah yang membuat skor z tidak bersatuan dan dapat dibandingkan antarbesaran yang sama sekali berbeda.

Membandingkan hasil pada skala yang berbeda

Penggunaan skor z yang paling praktis adalah perbandingan yang adil. Misalkan seorang siswa mendapat 82 dalam kimia, yang rata-ratanya 75 dan simpangan bakunya 5, serta 88 dalam sejarah, yang rata-ratanya 80 dan simpangan bakunya 8. Nilai sejarahnya lebih tinggi, tetapi hasil mana yang lebih mengesankan?

Dibandingkan dengan siswa lain, hasil kimianya lebih baik: 1,4 simpangan baku di atas rata-rata, dibandingkan 1,0. Gagasan yang sama memungkinkan peneliti membandingkan pengukuran dari alat yang berbeda dan analis membandingkan indikator sebuah perusahaan dengan sektor-sektor yang nilai khasnya sangat berbeda.

Kembali dari skor z ke nilai semula

Jika rumusnya diselesaikan ke arah sebaliknya, diperoleh nilai semula yang sesuai dengan skor z tertentu:

Untuk ujian dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10, skor z $-1.2$ sesuai dengan nilai $70 + (-1.2)(10) = 58$. Bentuk ini berguna untuk menentukan nilai batas; misalnya, seperti diperlihatkan Contoh 4 di bawah, untuk mengetahui berapa nilai yang dibutuhkan seorang siswa agar masuk 10 persen teratas.

Dari skor z ke persentil

Jika data mengikuti distribusi normal, yaitu kurva lonceng Gauss, skor z dapat diubah menjadi persentil, yaitu proporsi nilai yang berada di bawahnya. Distribusi normal baku memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1, dan fungsi distribusinya, yang dilambangkan $\Phi(z)$, memberikan proporsi tersebut. Beberapa nilai acuan layak diingat:

• $\Phi(0) = 0.5$: rata-rata sesuai dengan persentil ke-50.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ dan $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$: jadi siswa pada Contoh 1 mengungguli kira-kira 93 persen kelasnya.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$: jadi siswa pada Contoh 2 berada kira-kira di persentil ke-21.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$; karena itu nilai 1,96 muncul pada selang kepercayaan 95 persen.

Aturan empiris merangkum kurva lonceng: kira-kira 68 persen nilai berjarak kurang dari satu simpangan baku dari rata-rata, kira-kira 95 persen kurang dari dua simpangan baku, dan kira-kira 99,7 persen kurang dari tiga simpangan baku. Karena itu nilai dengan $|z| > 3$ jarang terjadi dan sering diperiksa sebagai kemungkinan pencilan.

Skor z untuk rata-rata sampel

Rata-rata berfluktuasi lebih sedikit daripada nilai-nilai individual. Jika sampel berukuran $n$ diambil dari populasi dengan rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma$, simpangan baku rata-rata sampelnya adalah $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, yang disebut galat baku. Skor z untuk rata-rata sampel adalah:

Misalnya, jika rata-rata 25 siswa yang mengikuti ujian di atas adalah 73, galat bakunya $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ dan $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Kelebihan tiga poin adalah hal biasa untuk satu siswa, tetapi cukup tidak biasa untuk rata-rata 25 siswa. Rumus ini menjadi titik tolak uji z dan selang kepercayaan dalam mata kuliah statistika tingkat pengantar.

Apa yang perlu diperhatikan saat bekerja dengan skor z?

• Mengubah skor z menjadi persentil dengan $\Phi$ hanya sah jika data kira-kira berdistribusi normal. Untuk data yang jelas menceng, seperti pendapatan, lebih baik persentil dicari langsung dari datanya.
• Gunakan simpangan baku populasi jika diketahui; jika tidak, gunakan simpangan baku sampel sebagai taksiran; untuk sampel kecil, perlu beralih ke distribusi t Student.
• Skor z menggambarkan posisi di dalam kelompok. Membandingkan skor z dari kelompok-kelompok yang tingkatnya sangat berbeda tetap bisa menyesatkan.
• Pertahankan tandanya. Skor z $-2$ dan $2$ sama-sama tidak biasa, tetapi maknanya berlawanan.

Kalkulator skor z mencari skor z, persentil, dan luas daerah di antara dua nilai, sedangkan kalkulator simpangan baku lebih dahulu memberikan rata-rata dan simpangan baku yang diperlukan.

Di mana skor z dijumpai dalam praktik?

Dalam laporan ujian terstandar, skor mentah sering diubah menjadi skor standar atau persentil yang bertumpu pada gagasan yang sama dengan skor z. Dokter anak memantau tinggi dan berat badan anak dengan kurva pertumbuhan; sebagian perangkat klinis menyajikan indikator ini langsung sebagai skor z menurut usia anak. Pengukuran kepadatan tulang menghasilkan skor T, yaitu skor z yang dihitung relatif terhadap orang dewasa muda yang sehat. Insinyur mutu menandai komponen yang ukurannya menyimpang lebih dari tiga simpangan baku dari nilai nominal, dan analis keuangan membakukan imbal hasil untuk membandingkan reksa dana dengan risiko berbeda pada skala yang sama.

Latihan

1. Rata-rata suatu kumpulan data 50 dan simpangan bakunya 4. Carilah skor z untuk nilai 56. Penyelesaian: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Rata-rata hasil ujian 100 dan simpangan bakunya 15. Nilai berapa yang sesuai dengan $z = -2$? Penyelesaian: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Nilai-nilai mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 100. Berapa proporsi yang berada di bawah 650? Penyelesaian: $z = 1.5$, jadi kira-kira $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, atau 93 persen.

Pertanyaan yang sering diajukan