Kalkulator Skor-Z

Tentang kalkulator skor-z

Skor-z menunjukkan seberapa jauh suatu nilai dari rata-rata dalam satuan simpangan baku. Skor-z membawa nilai ujian yang berbeda, tinggi badan dari populasi yang berbeda, atau hasil pengukuran dalam satuan yang berbeda ke satu skala bersama; dengan begitu semuanya dapat dibandingkan secara langsung dan dapat diketahui seberapa tidak biasanya nilai-nilai itu.

Kalkulator menyelesaikan enam jenis soal skor-z yang dijumpai dalam pelajaran statistika: mencari $z$ dari suatu nilai, mendapatkan kembali nilai dari $z$ , mencari luas di sebelah kiri atau kanan $z$ , mencari luas di antara dua skor-z, dan menentukan skor-z yang bersesuaian dengan suatu persentil. Luasnya dihitung langsung dari distribusi normal baku, sehingga tabel tidak diperlukan.

Apa itu skor-z?

Untuk nilai $x$ dari populasi dengan rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma$ , skor-z-nya adalah $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Skor-z 0 menunjukkan bahwa nilainya sama dengan rata-rata, skor-z positif menunjukkan bahwa nilainya di atas rata-rata, dan skor-z negatif menunjukkan bahwa nilainya di bawah rata-rata.

Jika datanya berdistribusi normal, skor-z juga menunjukkan persentil. Luas di bawah kurva distribusi normal baku di sebelah kiri $z$ , yang dinyatakan dengan $\Phi(z)$ , adalah proporsi nilai yang lebih kecil daripada $x$ .

Cara menggunakan kalkulator skor-z

Pilih perhitungannya: skor-z dari x, nilai mentah dari skor-z, luas di sebelah kiri, luas di sebelah kanan, luas di antara dua nilai, atau skor-z dari persentil.
Masukkan data yang diminta mode itu: x, rata-rata, dan simpangan baku; satu atau dua skor-z; atau persentil.
Anda dapat memasukkan persentil sebagai bilangan desimal seperti 0,95 atau sebagai persen seperti 95%.
Tekan «Hitung».
Pelajari skor-z atau luasnya beserta tafsirannya dalam bentuk persentil.

Rumus

Skor-z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Nilai dari skor-z

x = \mu + z\sigma

Luas di sebelah kanan

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Luas di antara dua nilai

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Contoh soal dan pembahasan: x = 85, μ = 70, σ = 10

Contoh soal membahas nilai $x = 85$ di kelas yang rata-ratanya $\mu = 70$ dan simpangan bakunya $\sigma = 10$ . Setelah rata-rata dikurangkan diperoleh 15, dan setelah dibagi simpangan baku diperoleh $z = 1.5$ : nilai itu satu setengah simpangan baku di atas rata-rata.

Luas di sebelah kiri $z = 1.5$ kira-kira 0,9332: jika nilai-nilainya berdistribusi normal, siswa itu memperoleh hasil yang lebih baik daripada kira-kira 93,32% teman sekelasnya.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

z = 1.5

Cara kami membaca soal Anda

Skor-z dari x, mean, dan simpangan baku

Pembahasan langkah demi langkah

Kurangkan mean dari nilai tersebut
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
Bagi dengan simpangan baku
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
Cari luas daerah di sebelah kiri (persentil)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

Rumus yang digunakan

Skor-z
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Fungsi distribusi kumulatif normal baku
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 terletak 1.5 simpangan baku di atas mean; kira-kira 93.32% dari populasi normal berada di bawahnya.

Pemeriksaan

Kebalikannya: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

Penjelasan lengkap

Bagaimana membaca luas di bawah kurva distribusi normal?

Luas total di bawah kurva distribusi normal baku adalah 1, dan kurvanya simetris terhadap 0. Luas di sebelah kiri $z = 1.25$ kira-kira 0,8944, sedangkan luas di sebelah kanan $z = 1.96$ kira-kira 0,025; itulah sebabnya nilai 1,96 muncul pada selang kepercayaan 95%. Luas di antara $-1$ dan $1$ kira-kira 0,6827.

Aturan empiris juga berasal dari luas-luas ini: pada distribusi normal, kira-kira 68% nilai berjarak kurang dari satu simpangan baku dari rata-rata, kira-kira 95% kurang dari dua, dan kira-kira 99,7% kurang dari tiga.

Arah sebaliknya: dari persentil ke skor-z

Mode kebalikan menyelesaikan persamaan $\Phi(z) = p$ . Untuk persentil ke-95, hasilnya $z \approx 1.645$ . Untuk mencari nilai batasnya, gabungkan dengan $x = \mu + z\sigma$ : jika rata-ratanya 70 dan simpangan bakunya 10, persentil ke-95 berada kira-kira pada $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

Mode «nilai mentah x dari skor-z» langsung mengerjakan langkah kedua ini. Dengan rata-rata dan simpangan baku yang sama, jika dimasukkan $z = 1.5$ , hasilnya $x = 85$ ; artinya mode ini membalik contoh di awal.

Membandingkan nilai pada skala yang berbeda

Misalkan seorang siswa memperoleh 85 pada ujian yang rata-ratanya 70 dan simpangan bakunya 10, sedangkan siswa lain memperoleh 620 pada ujian yang rata-ratanya 500 dan simpangan bakunya 100. Skor-z keduanya 1,5 dan 1,2; jadi meskipun 620 tampak sebagai bilangan yang lebih besar, hasil pertama secara relatif lebih baik.

Skor-z juga membantu menemukan pencilan: nilai dengan $|z| > 3$ jarang muncul pada model distribusi normal dan layak diperiksa ulang. Ingat bahwa tafsiran persentil mengandaikan data berdistribusi kira-kira normal; pada data yang sangat menceng, skor-z tetap mengukur jarak ke rata-rata, tetapi luas yang diperoleh bisa menyesatkan.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengurangkan dengan urutan yang salah: yang benar nilai dikurangi rata-rata, bukan rata-rata dikurangi nilai.
Membagi dengan ragam, bukan dengan simpangan baku.
Memberikan luas di sebelah kiri ketika yang ditanyakan peluang melampaui suatu nilai.
Memasukkan persentil sebagai 95, bukan 95% atau 0,95.
Menerapkan persentil distribusi normal pada data yang jelas tidak berdistribusi normal.

Kiat

Sebelum menghitung, gambarlah kurva lonceng dan tandai daerah yang ditanyakan.
Manfaatkan kesimetrisan: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
Hafalkan nilai acuan 1,645, 1,96, dan 2,576 untuk selang dua arah 90%, 95%, dan 99%.
Jika Anda hanya memiliki data mentah, gunakan kalkulator simpangan baku lebih dulu.
Bulatkan skor-z menjadi dua angka di belakang koma hanya di bagian paling akhir.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari skor-z?

Kurangkan rata-rata dari nilai lalu bagi dengan simpangan baku: z = (x − μ) ÷ σ. Untuk x = 85, μ = 70, dan σ = 10, diperoleh z = 1,5.

Apa arti skor-z negatif?

Artinya nilai itu berada di bawah rata-rata. Skor-z −2 menunjukkan bahwa nilainya dua simpangan baku di bawah rata-rata.

Bagaimana mengubah skor-z menjadi persentil?

Cari luas di sebelah kiri z di bawah kurva distribusi normal baku. Untuk z = 1,5, luasnya kira-kira 0,9332, yaitu persentil ke-93.

Bagaimana mencari skor-z dari persentil?

Pilih mode kebalikan dan masukkan persentilnya, misalnya 95%. Kalkulator memberikan z ≈ 1,645.

Skor-z berapa yang tergolong baik?

Itu bergantung pada konteksnya. Nilai antara −1 dan 1 sering dijumpai; nilai di luar ±2 tergolong tidak biasa, dan nilai di luar ±3 jarang muncul pada model distribusi normal.

Apakah tabel distribusi normal diperlukan?

Tidak. Kalkulator menghitung luas distribusi normal secara langsung, sehingga hasilnya lebih presisi daripada tabel cetak.

Mengapa kalkulator tidak menerima simpangan baku 0?

Karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi; simpangan baku 0 juga berarti semua nilai sama dengan rata-rata: dalam keadaan itu pembakuan tidak bermakna.

Coba kalkulator skor-z

Masukkan nilai, rata-rata, dan simpangan baku atau sebuah persentil; dapatkan skor-z dan luasnya beserta penjelasan setiap langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI