Como calcular o desvio padrão (amostral e populacional)

O que o desvio padrão mede

A média indica onde fica o centro de um conjunto de dados, mas não o quanto os valores estão agrupados em torno dele. O desvio padrão preenche essa lacuna. Um desvio padrão pequeno significa que os valores estão perto da média; um grande, que estão bem espalhados. Ele é expresso na mesma unidade dos dados: um desvio padrão de 5 centímetros em alturas significa que uma altura típica fica a uns 5 centímetros da média.

O cálculo segue uma lógica simples. Meça a distância de cada valor até a média, eleve essas distâncias ao quadrado para que valores acima e abaixo da média não se anulem, tire a média dos quadrados e, por fim, extraia a raiz quadrada para voltar à unidade original. Se precisar revisar a própria média, comece por média, mediana, moda e desvio padrão.

As duas fórmulas

Existem duas versões, dependendo de os seus dados formarem uma população inteira ou uma amostra tirada de uma população maior:

O desvio padrão populacional $\sigma$ divide pela quantidade de valores $N$. O desvio padrão amostral $s$ divide por $n - 1$. A quantidade dentro da raiz é a variância, indicada por $\sigma^2$ ou $s^2$. A variância é útil na teoria, mas sua unidade fica ao quadrado, como centímetros quadrados, e por isso se costuma informar o desvio padrão.

Cinco passos, detalhados à mão

Uma tabela com colunas para $x$, $x - \bar{x}$ e $(x - \bar{x})^2$ mantém o trabalho organizado. Uma verificação útil: os desvios da segunda coluna sempre somam zero. Se não somarem, a média está errada, e tudo o que vem depois também estará.

Por que se divide por n menos 1 em uma amostra?

Quando você trabalha com uma amostra, não conhece a verdadeira média da população: por isso mede os desvios em relação à média da amostra. Só que essa média é, por construção, o ponto que torna a soma dos quadrados dos desvios a menor possível para aquela amostra específica. Os desvios medidos em relação a ela são, portanto, em média, um pouco menores do que seriam em relação à média verdadeira.

Dividir por $n - 1$ em vez de $n$ corrige esse efeito e faz da variância amostral um estimador não viesado da variância populacional. Esse ajuste se chama correção de Bessel. Também dá para vê-lo em termos de graus de liberdade: conhecidos a média e $n - 1$ dos desvios, o último fica determinado, porque a soma deles tem de ser zero. Só $n - 1$ desvios trazem informação independente.

Na prática, use a fórmula amostral, a menos que seus dados cubram de fato todos os membros do grupo que interessa, como as notas de todos os alunos de uma turma quando só essa turma importa.

Uma fórmula abreviada e as tabelas de frequência

Uma fórmula algebricamente equivalente evita calcular cada desvio separadamente:

Para os dados do exemplo 1, $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$, então $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$, como antes. Esse atalho é rápido à mão, mas os computadores o evitam com números grandes ou muito precisos, porque subtrair dois números grandes quase iguais faz perder precisão.

Como interpretar o resultado

Para dados que seguem mais ou menos uma distribuição normal em forma de sino, a regra empírica dá uma leitura concreta do desvio padrão: cerca de 68 por cento dos valores ficam a menos de um desvio padrão da média, cerca de 95 por cento a menos de dois e cerca de 99,7 por cento a menos de três. Se as alturas de um grupo de adultos têm média de 170 centímetros e desvio padrão de 8, cerca de 95 por cento do grupo mede entre 154 e 186 centímetros.

Para dados de qualquer formato, a desigualdade de Tchebychev ainda garante que pelo menos 75 por cento dos valores ficam a menos de dois desvios padrão da média, e pelo menos cerca de 89 por cento a menos de três. Expressar a distância de um valor até a média em desvios padrão dá o seu escore z, que permite comparar valores medidos em escalas diferentes.

O desvio padrão também reage de forma previsível a transformações dos dados. Somar a mesma constante a todos os valores desloca a média, mas não muda o desvio padrão, já que a dispersão continua a mesma. Multiplicar todos os valores por uma constante multiplica o desvio padrão pelo valor absoluto dessa constante: passar de metros para centímetros o multiplica, portanto, por 100.

Com calculadora ou planilha

As calculadoras científicas costumam ter duas teclas, muitas vezes indicadas por $\sigma_x$ ou $\sigma_n$ para a versão populacional e $s_x$ ou $\sigma_{n-1}$ para a versão amostral. Em planilhas como o Excel e o Google Planilhas em português, DESVPAD.P calcula o desvio padrão populacional e DESVPAD.A o amostral; a função antiga DESVPAD também dá o valor amostral. Escolher a errada é a causa mais comum de resultados que não batem.

A calculadora de desvio padrão mostra as duas versões com a tabela completa dos desvios, ideal para conferir lições feitas à mão. A calculadora de média, mediana e moda acrescenta as outras medidas-resumo, e a calculadora de escore z usa o resultado para padronizar valores específicos.

Comparar a dispersão entre escalas diferentes

Desvios padrão são difíceis de comparar quando as médias são muito diferentes. Um desvio padrão de 2 quilos é enorme para recém-nascidos, mas minúsculo para elefantes adultos. O coeficiente de variação resolve o problema dividindo o desvio padrão pela média; ele costuma ser expresso em porcentagem. Dois investimentos com retornos anuais médios de 6 e 9 por cento, com desvios padrão de 3 e 9 pontos percentuais, têm coeficientes de variação de 50 e 100 por cento: o segundo é, portanto, duas vezes mais volátil em relação ao seu retorno típico.

Erros comuns

• Esquecer de elevar os desvios ao quadrado, de modo que os valores positivos e negativos se anulam e dão zero.
• Esquecer a raiz quadrada final e informar a variância no lugar.
• Confundir as fórmulas amostral e populacional, ou apertar a tecla errada da calculadora.
• Arredondar muito a média antes de calcular os desvios, o que acumula erros de arredondamento.
• Tratar uma tabela de frequência como se cada valor aparecesse uma única vez.

Perguntas frequentes