Noções básicas de probabilidade: uma introdução prática

Resultados, eventos e a escala das probabilidades

A probabilidade parte de um experimento aleatório, como lançar um dado, e do seu espaço amostral, o conjunto de todos os resultados possíveis. Para um lançamento de dado comum, o espaço amostral é $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Um evento é qualquer conjunto de resultados, como sair um número par, ou seja, o conjunto $\{2, 4, 6\}$.

Toda probabilidade fica entre 0 e 1. Uma probabilidade 0 significa que o evento é impossível, 1 que é certo, e 0,5 que tem tanta chance de acontecer quanto de não acontecer. As probabilidades podem ser escritas como frações, decimais ou porcentagens: $\frac{1}{4}$, 0,25 e 25 por cento significam a mesma coisa. Quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é uma simples razão:

Em outras palavras, o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. Assim, a probabilidade de sair um número par é $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Com dois dados, há $6 \times 6 = 36$ resultados ordenados igualmente prováveis, e seis deles dão soma 7, a saber (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) e (6,1), então $P(\text{soma} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Para contar os resultados em problemas maiores, usam-se as técnicas de permutações e combinações.

A regra do evento complementar

O complementar de um evento $A$ reúne tudo o que não está em $A$. Como um ou outro tem de acontecer, as probabilidades deles somam 1:

Sempre que um enunciado disser “pelo menos um”, tente primeiro o complementar. Ele quase sempre transforma uma conta longa em uma conta curta.

A probabilidade da união: A ou B

A probabilidade de que $A$ ou $B$ aconteça, ou ambos, é obtida somando as probabilidades deles e subtraindo a da interseção, que de outro modo seria contada duas vezes:

Ao tirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a probabilidade de sair uma carta de copas ou um rei é $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, porque o rei de copas pertence aos dois grupos. Eventos que não podem acontecer ao mesmo tempo, como sair 2 e sair 5 em um mesmo lançamento, são mutuamente exclusivos. A interseção deles é vazia, então suas probabilidades simplesmente se somam.

A probabilidade da interseção: A e B

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não muda a probabilidade do outro, como em lançamentos de moeda separados. Para eventos independentes, multiplica-se:

Tirar cara duas vezes em dois lançamentos tem, portanto, probabilidade $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Quando os eventos são dependentes, a segunda probabilidade precisa levar em conta o que já aconteceu. Tirando duas cartas sem reposição, a probabilidade de sair dois ases é $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, porque depois de tirar um ás sobram só 3 ases entre 51 cartas.

Probabilidade condicional e teorema de Bayes

A probabilidade condicional é a probabilidade de $A$ dado que $B$ ocorreu, indicada por $P(A \mid B)$. Saber que $B$ ocorreu reduz o espaço amostral a $B$:

O teorema de Bayes inverte uma probabilidade condicional e transforma $P(B \mid A)$ em $P(A \mid B)$. Sua aplicação mais famosa mostra por que um exame médico positivo pode ser menos preocupante do que parece.

O valor esperado

O valor esperado, ou esperança, de um jogo ou de uma variável aleatória é o resultado médio a longo prazo; ele é obtido multiplicando cada resultado pela sua probabilidade e somando:

Suponha que um jogo pague 10 dólares se o dado mostrar seis e custe 2 dólares caso contrário. O valor esperado é $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$: o jogo é, portanto, justo, e depois de muitas rodadas dá para esperar ficar no zero a zero. Os jogos de cassino são projetados com valor esperado ligeiramente negativo para o jogador, e é assim que os cassinos ganham dinheiro ao longo de milhões de apostas, mesmo que alguns jogadores às vezes ganhem. Os seguros seguem o mesmo princípio, visto do outro lado: a seguradora arrecada em prêmios um pouco mais do que espera pagar em indenizações.

Armadilhas comuns

• A falácia do apostador: depois de cinco vermelhos seguidos em uma roleta honesta, o preto não está “devendo”. Cada giro é independente, então a probabilidade não muda.
• Somar probabilidades de eventos que se sobrepõem sem subtrair a interseção, o que pode dar probabilidades maiores que 1.
• Multiplicar probabilidades de eventos que não são independentes.
• Confundir $P(A \mid B)$ com $P(B \mid A)$, como no exemplo do exame médico.
• Subestimar as coincidências: em um grupo de apenas 23 pessoas, a probabilidade de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia é de cerca de 50,7 por cento.

A lei dos grandes números explica o que a probabilidade realmente garante: quando um experimento é repetido muitas vezes, a frequência de um evento se estabiliza perto da sua probabilidade. Ela não promete nada sobre uma sequência curta de resultados. A calculadora de probabilidade trata eventos simples, compostos e condicionais passo a passo, e a calculadora de permutações e combinações conta os resultados de que muitos problemas de probabilidade precisam.

Árvores de probabilidade para problemas em várias etapas

Quando um experimento acontece em várias etapas, uma árvore de probabilidade ajuda a acompanhar cada caminho. Anote em cada ramo a sua probabilidade, multiplique ao longo de um caminho para obter a probabilidade da sequência inteira e some os caminhos que formam o evento procurado.

As árvores tornam visível a regra do produto e mostram com clareza onde as probabilidades mudam de uma etapa para outra. Elas também são o jeito mais seguro de montar um problema de teorema de Bayes, porque cada ramo da segunda etapa é uma probabilidade condicional.

Perguntas frequentes