O escore z explicado com exemplos resolvidos

O que o escore z mede

Uma nota bruta, sozinha, diz pouca coisa. Tirar 85 em uma prova parece bom, mas se todos os outros tiraram 95, na verdade é um resultado fraco. O escore z, também chamado de valor padronizado ou escore padrão, resolve esse problema situando um valor em relação ao seu grupo. Ele responde a uma única pergunta: a quantos desvios padrão da média esse valor está?

Aqui, $x$ é o valor, $\mu$ a média e $\sigma$ o desvio padrão. Um escore z positivo significa que o valor está acima da média; um negativo, que está abaixo; e zero, que é exatamente igual à média. Um escore z de 2 significa dois desvios padrão acima da média, o que é incomumente alto para a maioria dos conjuntos de dados. Para revisar o cálculo do próprio desvio padrão, veja como calcular o desvio padrão.

Calculando um escore z passo a passo

As unidades sempre se cancelam, porque o numerador e o denominador estão na unidade original. É isso que torna os escores z adimensionais e comparáveis entre medidas completamente diferentes.

Comparando resultados em escalas diferentes

O uso mais prático dos escores z é a comparação justa. Suponha que uma aluna tire 82 em uma prova de química com média 75 e desvio padrão 5, e 88 em uma prova de história com média 80 e desvio padrão 8. A nota de história é maior, mas qual resultado é mais impressionante?

Em relação aos outros alunos, o resultado em química é melhor: 1,4 desvio padrão acima da média contra 1,0. A mesma ideia permite que cientistas comparem medidas de instrumentos diferentes e que analistas comparem o desempenho de uma empresa com o de setores cujos valores típicos são muito diferentes.

Do escore z de volta ao valor original

Resolvendo a fórmula ao contrário, obtém-se o valor original que corresponde a um dado escore z:

Para a prova com média 70 e desvio padrão 10, um escore z de $-1.2$ corresponde a $70 + (-1.2)(10) = 58$. Essa forma é útil para definir notas de corte, por exemplo para saber que nota um aluno precisa tirar para ficar entre os 10 por cento melhores, como mostra o exemplo 4 mais abaixo.

De escores z a percentis

Quando os dados seguem uma distribuição normal, a curva em forma de sino de Gauss, um escore z pode ser convertido em percentil, a proporção de valores que ficam abaixo dele. A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão 1, e sua função de distribuição acumulada, indicada por $\Phi(z)$, fornece essa proporção. Vale a pena memorizar alguns valores de referência:

• $\Phi(0) = 0.5$: a média corresponde ao percentil 50.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ e $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$: o aluno do exemplo 1 foi, portanto, melhor que cerca de 93 por cento da turma.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$: a aluna do exemplo 2 fica, portanto, por volta do percentil 21.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, e é por isso que o valor 1,96 aparece nos intervalos de confiança de 95 por cento.

A regra empírica resume a curva em sino: cerca de 68 por cento dos valores ficam a menos de um desvio padrão da média, cerca de 95 por cento a menos de dois e cerca de 99,7 por cento a menos de três. Valores com $|z| > 3$ são, portanto, raros e muitas vezes examinados como possíveis valores atípicos (outliers).

Escores z para médias amostrais

As médias variam menos do que os valores individuais. Se forem tiradas amostras de tamanho $n$ de uma população com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, a média amostral tem desvio padrão $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, chamado de erro padrão. O escore z de uma média amostral é

Por exemplo, se 25 alunos da prova anterior têm média 73, o erro padrão é $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ e $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Ganhar três pontos é comum para um aluno, mas bastante incomum para a média de 25 alunos. Essa fórmula é o ponto de partida dos testes z e dos intervalos de confiança nos cursos introdutórios de estatística.

Cuidados ao usar escores z

• Converter escores z em percentis com $\Phi$ só é válido se os dados forem aproximadamente normais. Para dados muito assimétricos, como a renda, os percentis devem ser lidos nos próprios dados.
• Use o desvio padrão populacional quando o conhecer e o amostral como estimativa caso contrário; com amostras pequenas, é preciso recorrer à distribuição t de Student.
• Um escore z descreve uma posição dentro de um grupo. Comparar escores z de grupos de níveis muito diferentes ainda pode enganar.
• Mantenha o sinal. Um escore z de $-2$ e um de $2$ são igualmente incomuns, mas significam coisas opostas.

A calculadora de escore z calcula escores z, percentis e a área entre dois valores, e a calculadora de desvio padrão fornece a média e o desvio padrão de que você precisa antes.

Onde os escores z aparecem na prática

Os relatórios de provas padronizadas muitas vezes convertem as notas brutas em notas padronizadas ou em percentis baseados na mesma ideia do escore z. Os pediatras acompanham a altura e o peso de uma criança com curvas de crescimento, e algumas ferramentas clínicas expressam essas medidas diretamente em escores z para a idade da criança. As densitometrias ósseas informam um T-score, que é um escore z medido em relação a adultos jovens saudáveis. Engenheiros de qualidade sinalizam peças cujas medidas se afastam mais de três desvios padrão do valor nominal, e analistas financeiros padronizam os retornos para comparar na mesma escala fundos com níveis de risco diferentes.

Exercícios

1. Um conjunto de dados tem média 50 e desvio padrão 4. Calcule o escore z de 56. Solução: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Uns escores têm média 100 e desvio padrão 15. Que escore corresponde a $z = -2$? Solução: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Uns valores seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio padrão 100. Que proporção fica abaixo de 650? Solução: $z = 1.5$, então cerca de $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, ou seja, 93 por cento.

Perguntas frequentes