Calculadora de desvio padrão

Sobre a calculadora de desvio padrão

O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Um desvio padrão pequeno significa que os valores ficam perto da média; um grande, que eles estão bem espalhados.

Use a fórmula populacional quando os seus dados abrangem todos os membros do grupo que interessa, e a fórmula amostral, que divide por $n-1$ , quando os dados são uma amostra usada para estimar uma população maior.

O que o desvio padrão mede?

O desvio padrão mede o quanto um conjunto de números se espalha em torno da sua média. Se ele é pequeno, os valores ficam perto da média; se é grande, eles estão bem espalhados. Duas turmas podem ter média 70 em uma prova, mas se uma tem desvio padrão 3 e a outra 15, a primeira teve resultados homogêneos, enquanto a segunda vai de alunos com dificuldade a alunos excelentes.

Ele é calculado a partir dos desvios, isto é, da distância de cada valor até a média. Esses desvios sempre somam zero: por isso eles são elevados ao quadrado antes de se tirar a média, o que dá a variância. Tirando a raiz quadrada da variância, voltamos às unidades originais: o desvio padrão de alturas medidas em centímetros também é expresso em centímetros.

Como usar a calculadora de desvio padrão

Digite ou cole os números separados por vírgulas, espaços ou quebras de linha.
Escolha Amostra ou População.
Clique em Calcular para ver a média, os desvios ao quadrado, a variância e o desvio padrão.

Fórmulas

Desvio padrão populacional

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Desvio padrão amostral

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Variância de um conjunto de dados

\sigma^2,\ s^2 = (\text{desvio padrão})^2

Exemplo resolvido: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (amostra)

O exemplo resolvido trata 4, 8, 6, 5, 3, 7 como uma amostra. A média vale $\frac{33}{6} = 5.5$ . Os desvios são $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , e a soma dos seus quadrados vale 17.5. Dividindo por $n - 1 = 5$ , obtemos a variância amostral 3.5, cuja raiz quadrada é o desvio padrão amostral $s \approx 1.870828693$ . Para comparar, se esses mesmos seis números forem tratados como uma população inteira, dividimos por 6 e obtemos $\sigma \approx 1.707825128$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

s = 1.870828693

Como interpretamos o seu problema

Os dados são tratados como uma amostra de uma população maior (correção de Bessel, divisão por n − 1).

Solução passo a passo

Calcular a média
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Elevar ao quadrado cada desvio em relação à média
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Somar os quadrados dos desvios
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Dividir por n − 1 para obter a variância amostral
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Tirar a raiz quadrada
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Fórmulas usadas

Desvio padrão amostral
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Desvio padrão populacional
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

O desvio padrão mede a dispersão dos valores em torno da média. Um valor pequeno significa que os dados estão concentrados perto da média.

Verificação

Variância = 3.5, e 1.870828693² = 3.5
Desvio padrão populacional, para comparação: 1.707825128

Explicação detalhada

Amostra ou população na prática

As duas fórmulas só diferem no divisor, mas a escolha faz diferença em conjuntos pequenos. Se os números se referem a todos os membros do grupo que interessa, como as notas dos 25 alunos de uma turma, use a fórmula populacional com $N$ . Se forem uma amostra usada para estimar a dispersão de um grupo maior, como 25 alunos sorteados de uma escola inteira, use a fórmula amostral com $n - 1$ . O segundo exemplo da calculadora, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 tratado como população, tem média 5 e a soma dos quadrados dos desvios vale 32, então $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

Como interpretar o resultado

Para dados em forma de sino, a regra empírica diz que cerca de 68% dos valores ficam a menos de um desvio padrão da média, cerca de 95% a menos de dois e cerca de 99.7% a menos de três. Um valor que se afasta da média mais de dois desvios padrão é, portanto, incomum. Dividindo a distância de um valor até a média pelo desvio padrão, obtemos o seu escore z, que permite comparar resultados medidos em escalas diferentes, como uma nota de prova e um tempo de corrida.

O desvio padrão é sensível a valores atípicos, porque os desvios são elevados ao quadrado, e um único valor extremo pode inflá-lo bastante. Para dados muito assimétricos, a amplitude interquartil costuma resumir melhor a dispersão.

Erros comuns

Usar $n$ em vez de $n - 1$ para uma amostra, o que subestima a dispersão.
Esquecer de elevar os desvios ao quadrado, de modo que os desvios positivos e negativos se cancelam e dão zero.
Informar a variância quando o enunciado pede o desvio padrão.
Arredondar a média antes de calcular os desvios, o que distorce todos os quadrados.
Esquecer a raiz quadrada final e apresentar a variância como se fosse o desvio padrão.

Dicas

Para dados em forma de sino, cerca de 68% dos valores ficam a menos de um desvio padrão da média.
O desvio padrão tem as mesmas unidades dos dados; a variância tem essas unidades ao quadrado.
Somar uma constante a todos os valores não muda o desvio padrão.
Se você somar uma constante a todos os valores, o desvio padrão não muda; se multiplicar todos os valores por $k$ , ele fica multiplicado por $|k|$ .
Use a calculadora de escore z para ver a quantos desvios padrão da média fica um determinado valor.

Perguntas frequentes

O que é desvio padrão?

É a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em relação à média. Ele indica a que distância da média um valor costuma ficar.

Devo usar a fórmula amostral ou a populacional?

Use a populacional quando você tem os dados do grupo inteiro. Use a amostral quando os seus dados são um subconjunto usado para descrever um grupo maior, que é o caso mais comum.

Por que a fórmula amostral divide por n − 1?

A média da amostra fica mais perto dos valores da amostra do que a verdadeira média, o que encolhe os desvios. Dividir por $n-1$ (correção de Bessel) compensa esse efeito e dá uma estimativa não viesada da variância.

O desvio padrão pode ser zero?

Sim, exatamente quando todos os valores são iguais. Ele nunca pode ser negativo.

Quantos valores são necessários?

Um único valor basta para o desvio padrão populacional (que então vale 0). A fórmula amostral exige pelo menos dois valores.

Qual é a diferença entre variância e desvio padrão?

A variância é a média dos quadrados dos desvios; o desvio padrão é a raiz quadrada dela, que traz a medida de volta às unidades dos dados.

O que é um desvio padrão baixo ou alto?

Não existe um limite universal; tudo depende da escala dos dados. Compare-o com a média, ou use o coeficiente de variação $\frac{s}{\bar x}$ , para julgar se a dispersão é grande em relação aos valores típicos.

Qual é o efeito de um valor atípico no desvio padrão?

É grande, porque cada desvio é elevado ao quadrado. Se trocarmos o 7 por 70 no exemplo, o desvio padrão amostral passa de cerca de 1.87 para mais de 26.

Experimente a calculadora de desvio padrão

Cole os seus dados e obtenha a média, a variância e o desvio padrão, com cada passo explicado.

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