Calculadora de arranjos e combinações

Sobre a calculadora de arranjos e combinações

Muitos problemas de contagem se resumem a uma única pergunta: a ordem dos elementos escolhidos importa? Colocar corredores no pódio é um arranjo, porque ouro-prata-bronze não é a mesma coisa que bronze-prata-ouro. Escolher três pessoas para uma comissão é uma combinação, porque as mesmas três pessoas formam a mesma comissão em qualquer ordem.

Esta calculadora cobre os quatro casos usuais: arranjos e combinações sem repetição, arranjos com repetição (como senhas numéricas) e combinações com repetição (como escolher bolas de sorvete entre vários sabores). Ela trabalha com inteiros exatos: até contagens gigantescas, como o número de mãos de pôquer, aparecem por inteiro em vez de arredondadas.

O que são arranjos e combinações?

Um arranjo é uma lista ordenada de $r$ elementos escolhidos entre $n$ elementos distintos. O número deles vale $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ , o produto dos $r$ primeiros fatores de $n!$ . Uma combinação é uma escolha sem ordem, e o número delas vale $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Os dois estão ligados: cada combinação de $r$ elementos pode ser ordenada de $r!$ maneiras, então $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . A calculadora usa essa identidade para conferir cada resultado de nPr e de nCr.

Como usar a calculadora de arranjos e combinações

Escolha o que você quer contar: combinações, arranjos, arranjos com repetição ou combinações com repetição.
Digite o número total de elementos n.
Digite o número de elementos escolhidos r.
Clique em Calcular.
Veja o resultado, a fórmula usada e os passos da simplificação.

Fórmulas

Arranjos

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Combinações

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Arranjos com repetição

n^r

Combinações com repetição

\binom{n + r - 1}{r}

Exemplo resolvido: C(10, 3)

O exemplo calcula $C(10, 3)$ , o número de maneiras de escolher 3 elementos entre 10 quando a ordem não importa. Primeiro contamos as escolhas ordenadas: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Cada grupo de três aparece $3! = 6$ vezes nessa lista, uma vez para cada ordem possível, então $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . A verificação confirma que $120 \times 6 = 720$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

120

Como interpretamos o seu problema

Combinações nCr (a ordem não importa)

Solução passo a passo

Aplicar a fórmula das combinações
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Dividir os arranjos por r! porque a ordem não importa
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Fórmulas usadas

Combinações nCr (a ordem não importa)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Há 120 maneiras de escolher 3 elementos entre 10 quando a ordem não importa.

Verificação

Verificação: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Explicação detalhada

Por que os fatoriais se simplificam

Escrever $\frac{n!}{(n-r)!}$ parece exigir números enormes, mas a maioria dos fatores se cancela. Para $P(8, 3)$ , sobra apenas $8 \times 7 \times 6 = 336$ : oito opções para o primeiro lugar, sete para o segundo e seis para o terceiro. A calculadora mostra esse atalho em vez de calcular os fatoriais completos.

As combinações eliminam as $r!$ ordens de cada escolha. É por isso que $C(n, r)$ é sempre menor ou igual a $P(n, r)$ , e por isso $C(n, r) = C(n, n - r)$ : escolher os $r$ elementos que você leva equivale a escolher os $n - r$ que você deixa.

Contar com repetição

Quando os elementos podem se repetir e a ordem importa, cada uma das $r$ posições oferece $n$ opções, o que dá $n^r$ . Uma senha numérica de quatro dígitos tem $10^4 = 10{,}000$ possibilidades.

Quando os elementos podem se repetir, mas a ordem não importa, o método das estrelas e barras dá $\binom{n + r - 1}{r}$ . Escolher 4 bolas de sorvete entre 3 sabores, com repetição permitida, pode ser feito de $\binom{6}{4} = 15$ maneiras. Nesse modo, $r$ pode ser maior que $n$ .

Números grandes e casos-limite

O número de mãos de cinco cartas no pôquer vale $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ , e a calculadora mantém esses resultados exatos graças à aritmética de inteiros. Por convenção, $C(n, 0) = 1$ , porque existe exatamente uma maneira de não escolher nada.

Sem repetição, não é possível escolher mais elementos do que existem. Se você pedir $C(3, 5)$ , uma mensagem clara sugere um modo com repetição ou um $r$ menor, em vez de um zero sem sentido.

As combinações e o triângulo de Pascal

Os valores $C(n, r)$ formam o triângulo de Pascal, em que cada número é a soma dos dois números logo acima: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . Essa relação tem uma explicação combinatória. Fixe um elemento específico; cada escolha ou o contém, e restam $r - 1$ elementos a escolher entre os $n - 1$ outros, ou o exclui, e é preciso escolher os $r$ elementos entre os $n - 1$ outros.

Esses mesmos números são os coeficientes do desenvolvimento do binômio $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ , daí o nome coeficientes binomiais. A soma de uma linha inteira vale $2^n$ , o número total de subconjuntos de um conjunto com $n$ elementos, já que cada elemento está dentro ou fora.

Erros comuns

Usar arranjos quando a ordem não importa, o que conta a mais por um fator $r!$ .
Usar combinações para listas ordenadas, como senhas, classificações ou a disposição de lugares à mesa.
Esquecer que a repetição muda completamente a fórmula.
Calcular à mão os fatoriais completos em vez de simplificá-los, o que favorece erros de conta.
Escolher um r maior que n em um problema em que os elementos não podem se repetir.

Dicas

Pergunte-se: “se eu trocar dois elementos escolhidos de lugar, obtenho um resultado diferente?”. Se sim, use arranjos.
Use $C(n, r) = C(n, n - r)$ para simplificar as contas à mão.
Divida os problemas complexos em etapas e multiplique as contagens de cada etapa.
Divida uma contagem pelo número total de casos para transformá-la em probabilidade.
Use o modo binomial da calculadora de probabilidade quando precisar da probabilidade de k sucessos em vez de uma simples contagem.
Faça primeiro uma estimativa: se um número de combinações passar o dos arranjos correspondentes, algo está errado.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre arranjo e combinação?

Um arranjo conta listas ordenadas; uma combinação conta escolhas sem ordem. Escolher 3 elementos entre 10 dá 720 arranjos, mas apenas 120 combinações.

Como se calcula nCr?

Use n! ÷ (r!(n − r)!). Na prática, multiplique os r primeiros fatores de n! e divida por r!. Para C(10, 3), obtém-se 720 ÷ 6 = 120.

Como se calcula nPr?

Multiplique os r primeiros fatores de n!: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Quantas mãos de cinco cartas existem no pôquer?

C(52, 5) = 2,598,960, porque a ordem em que você recebe as cartas não importa.

O que significa “com repetição”?

Que cada elemento pode ser escolhido mais de uma vez, como os dígitos de uma senha numérica. As escolhas ordenadas com repetição são nʳ; as escolhas não ordenadas, C(n + r − 1, r).

Por que C(n, 0) vale 1?

Porque existe exatamente uma maneira de não escolher nenhum elemento: a escolha vazia. O mesmo raciocínio dá 0! = 1.

r pode ser maior que n?

Só se a repetição for permitida. Sem repetição, a calculadora explica que não é possível escolher mais elementos do que existem.

Experimente a calculadora de arranjos e combinações

Digite n e r e obtenha a contagem exata, a fórmula e a simplificação dos fatoriais passo a passo.

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