Média, mediana, moda e desvio padrão: o guia completo

Tendência central e dispersão: as duas grandes perguntas

Uma lista de números é difícil de ler de relance. A estatística a resume respondendo a duas perguntas. Onde fica o centro dos dados? E a que distância desse centro os valores costumam estar? As medidas de tendência central, ou seja, a média, a mediana e a moda, respondem à primeira pergunta. As medidas de dispersão, como a amplitude, a amplitude interquartil e o desvio padrão, respondem à segunda.

As duas são necessárias. Duas turmas podem ter a mesma média em uma prova e, mesmo assim, em uma delas todo mundo tirou nota perto da média, enquanto na outra as notas vão de reprovação a nota máxima. O centro sozinho esconde essa diferença, e a dispersão sozinha não diz nada sobre o desempenho da turma como um todo.

A média

A média, ou média aritmética, é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Para um conjunto $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

A média usa todos os valores, o que a torna eficiente, mas também sensível. Um único valor extremo, um valor atípico (outlier), pode deslocá-la bastante. Uma média ponderada dá mais peso a alguns valores do que a outros. Se a prova final vale 60 por cento da nota e os trabalhos valem 40 por cento, notas 80 e 90 se combinam em $0.6(80) + 0.4(90) = 84$, e não na média simples 85.

A mediana

A mediana é o valor central depois que os dados são colocados em ordem. Com uma quantidade ímpar de valores, é o único valor do meio; com uma quantidade par, é a média dos dois valores do meio.

A mediana não leva em conta o quão longe estão os valores extremos, o que a torna robusta a valores atípicos. Suponha que cinco pessoas ganhem 30, 35, 40, 45 e 50 mil dólares por ano. A média e a mediana valem ambas 40 mil. Se uma sexta pessoa, que ganha um milhão de dólares, ou seja, 1.000 mil, entra no grupo, a média sobe para 200 mil, mais do que qualquer um ganha, exceto o recém-chegado, enquanto a mediana sobe só para 42,5 mil. É por isso que preços de imóveis e rendas costumam ser informados pela mediana.

A moda

A moda é o valor mais frequente. Nas notas da prova, 85 aparece três vezes, então a moda é 85. Um conjunto pode ter uma moda, duas modas (diz-se bimodal), várias, ou nenhuma (amodal) se cada valor aparece exatamente uma vez.

A moda é a única medida de tendência central que serve para dados qualitativos. Não dá para tirar a média de cores favoritas ou de marcas de tênis, mas dá para dizer qual é a mais popular. Para dados numéricos, a moda é útil sobretudo quando os valores se repetem com frequência, como a numeração nas vendas de uma loja de calçados, em que o número mais vendido é exatamente o que precisa saber quem faz os pedidos.

Qual medida de tendência central escolher?

• Use a média para dados mais ou menos simétricos e sem valores atípicos extremos, como alturas ou erros de medição.
• Use a mediana para dados assimétricos ou com valores atípicos, como renda, preços de imóveis ou tempos de espera.
• Use a moda para categorias, ou para valores discretos em que só importa a opção mais frequente.

Comparar a média com a mediana também diz algo sobre o formato dos dados. Quando a média é bem maior que a mediana, uma cauda longa de valores altos a puxa para cima, e a distribuição é assimétrica à direita (assimetria positiva). Quando a média é menor, ela é assimétrica à esquerda. Nas notas da prova, a média de 82,1 é menor que a mediana de 85, porque algumas notas baixas puxam a média para baixo.

Medir a dispersão: amplitude e desvio padrão

A medida de dispersão mais simples é a amplitude: o maior valor menos o menor. Nas notas da prova, ela vale $95 - 68 = 27$ pontos. A amplitude é fácil de calcular, mas depende inteiramente dos dois valores mais extremos. A amplitude interquartil, que mede a dispersão da metade central dos dados, é mais robusta.

O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada. Ele representa, grosso modo, a distância típica entre um valor e a média. Para uma população inteira, ele vale:

A diferença entre dividir por $n$ e por $n - 1$, e por que ela importa, é explicada em detalhe em como calcular o desvio padrão.

Combinar os resumos certos

Um bom resumo de um conjunto de dados traz uma medida de tendência central e uma de dispersão coerentes entre si. A média combina naturalmente com o desvio padrão, porque ambos usam todos os valores e ambos são sensíveis a valores atípicos. A mediana combina com a amplitude interquartil, porque ambas são robustas. Informar uma mediana junto com um desvio padrão mistura duas lógicas diferentes e pode confundir.

Para dados em forma de sino, a média e o desvio padrão contam uma história notavelmente completa: cerca de 68 por cento dos valores ficam a menos de um desvio padrão da média e cerca de 95 por cento a menos de dois. Medir a distância de um valor até a média em desvios padrão é exatamente o que faz o escore z. A calculadora de média, mediana e moda calcula todas as medidas deste artigo a partir de uma lista colada, e a calculadora de desvio padrão detalha cada passo do cálculo da dispersão.

Os quartis e a amplitude interquartil

Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes iguais. Um método simples é tomar a mediana de cada metade. Nas notas ordenadas, a metade inferior é 68, 72, 77, 85, então o primeiro quartil vale $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$. A metade superior é 85, 85, 90, 95, então o terceiro quartil vale $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$. A amplitude interquartil vale $87.5 - 74.5 = 13$ pontos, a largura da metade central da turma.

Livros e programas usam convenções um pouco diferentes para os quartis, de modo que pequenas diferenças entre resultados são normais e não indicam erro. Uma regra comum marca como possível valor atípico qualquer valor que esteja mais de 1,5 amplitude interquartil abaixo do primeiro quartil ou acima do terceiro. Aqui, os limites são 55 e 107, então nenhuma nota é incomum.

Perguntas frequentes