Calculadora de escore z

Sobre a calculadora de escore z

O escore z indica a que distância da média um valor está, medida em desvios padrão. Ele coloca notas de provas diferentes, alturas de populações diferentes ou medidas em unidades diferentes em uma mesma escala comum, para que você possa compará-las diretamente e ver o quanto são incomuns.

Esta calculadora faz as seis tarefas com escores z que aparecem nas aulas de estatística: calcular $z$ a partir de um valor, recuperar o valor a partir de $z$ , encontrar a área à esquerda ou à direita de $z$ , encontrar a área entre dois escores z e obter o escore z de um percentil dado. As áreas são calculadas diretamente a partir da distribuição normal padrão: nenhuma tabela é necessária.

O que é um escore z?

Para um valor $x$ de uma população com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ , o escore z vale $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Um escore z igual a 0 significa que o valor é igual à média; um escore z positivo, que ele está acima da média, e um negativo, que está abaixo.

Se os dados seguem uma distribuição normal, o escore z também indica o percentil. A área sob a curva normal padrão à esquerda de $z$ , indicada por $\Phi(z)$ , é a proporção de valores menores que $x$ .

Como usar a calculadora de escore z

Escolha o cálculo: escore z a partir de x, valor bruto a partir de z, área à esquerda, área à direita, área entre dois valores ou escore z de um percentil.
Digite os dados que o modo pede: x, a média e o desvio padrão; um ou dois escores z; ou um percentil.
Os percentis podem ser escritos como decimal, por exemplo 0.95, ou como porcentagem, por exemplo 95%.
Clique em Calcular.
Veja o escore z ou a área, junto com a sua interpretação como percentil.

Fórmulas

Escore z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Valor a partir de z

x = \mu + z\sigma

Área à direita

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Área entre dois valores

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Exemplo resolvido: x = 85, μ = 70, σ = 10

O exemplo usa uma nota $x = 85$ em uma turma com média $\mu = 70$ e desvio padrão $\sigma = 10$ . Subtraindo a média, obtemos 15, e dividindo pelo desvio padrão, $z = 1.5$ : a nota fica um desvio padrão e meio acima da média.

A área à esquerda de $z = 1.5$ vale cerca de 0.9332: se as notas seguem uma distribuição normal, o aluno foi melhor que cerca de 93.32% da turma.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

z = 1.5

Como interpretamos o seu problema

Escore z a partir de x, da média e do desvio padrão

Solução passo a passo

Subtrair a média do valor
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
Dividir pelo desvio padrão
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
Encontrar a área à esquerda (percentil)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

Fórmulas usadas

Escore z
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Função de distribuição acumulada da normal padrão
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 está 1.5 desvios padrão acima da média; cerca de 93.32% de uma população normal fica abaixo.

Verificação

No sentido inverso: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

Explicação detalhada

Ler as áreas sob a curva normal

A área total sob a curva normal padrão vale 1, e a curva é simétrica em torno de 0. A área à esquerda de $z = 1.25$ vale cerca de 0.8944; a área à direita de $z = 1.96$ vale cerca de 0.025, e é por isso que 1.96 aparece nos intervalos de confiança de 95%. A área entre $-1$ e $1$ vale cerca de 0.6827.

Essas áreas são a origem da regra empírica: cerca de 68% dos valores de uma distribuição normal ficam a menos de um desvio padrão da média, cerca de 95% a menos de dois e cerca de 99.7% a menos de três.

O caminho inverso: do percentil ao escore z

O modo inverso resolve $\Phi(z) = p$ . Para o percentil 95, ele devolve $z \approx 1.645$ . Combine-o com $x = \mu + z\sigma$ para encontrar o valor de corte: com média 70 e desvio padrão 10, o percentil 95 vale cerca de $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

O modo valor a partir de z faz diretamente essa segunda etapa. Se você digitar $z = 1.5$ com a mesma média e o mesmo desvio padrão, ele devolve $x = 85$ , o que inverte o exemplo inicial.

Comparar valores em escalas diferentes

Suponha que um aluno tire 85 em uma prova com média 70 e desvio padrão 10, e outro tire 620 em uma prova com média 500 e desvio padrão 100. Os escores z deles valem 1.5 e 1.2: o primeiro resultado é, portanto, relativamente melhor, mesmo que 620 pareça um número maior.

Os escores z também servem para identificar valores atípicos: valores com $|z| > 3$ são raros em um modelo normal e merecem uma segunda conferência. Observe que a interpretação como percentil supõe dados aproximadamente normais; com dados muito assimétricos, o escore z continua medindo a distância até a média, mas a área obtida pode enganar.

Erros comuns

Subtrair na ordem errada; é o valor menos a média, e não a média menos o valor.
Dividir pela variância em vez do desvio padrão.
Informar a área à esquerda quando se pede a probabilidade de passar de um valor.
Escrever um percentil como 95 em vez de 95% ou 0.95.
Aplicar percentis da distribuição normal a dados claramente não normais.

Dicas

Desenhe a curva em forma de sino e pinte a região desejada antes de calcular.
Aproveite a simetria: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
Memorize os valores de referência 1.645, 1.96 e 2.576 para os intervalos bilaterais de 90%, 95% e 99%.
Se você só tem os dados brutos, use primeiro a calculadora de desvio padrão.
Arredonde os escores z para duas casas decimais só no final.

Perguntas frequentes

Como se calcula um escore z?

Subtraia a média do valor e divida pelo desvio padrão: z = (x − μ) ÷ σ. Para x = 85, μ = 70 e σ = 10, z = 1.5.

O que significa um escore z negativo?

Que o valor está abaixo da média. Um escore z de −2 significa que o valor fica dois desvios padrão abaixo da média.

Como converter um escore z em percentil?

Encontre a área sob a curva normal padrão à esquerda de z. Para z = 1.5, a área vale cerca de 0.9332, ou seja, o percentil 93.

Como encontrar o escore z de um percentil?

Escolha o modo inverso e digite o percentil, por exemplo 95%. A calculadora devolve z ≈ 1.645.

O que é um bom escore z?

Depende do contexto. Valores entre −1 e 1 são comuns; os que passam de ±2 são incomuns, e os que passam de ±3 são raros em um modelo normal.

Preciso de uma tabela da distribuição normal?

Não. A calculadora obtém as áreas da distribuição normal diretamente: você consegue valores mais precisos do que com uma tabela impressa.

Por que a calculadora recusa um desvio padrão igual a 0?

Porque a divisão por zero não está definida, e um desvio padrão igual a 0 significa que todos os valores são iguais à média: padronizar não faz sentido nesse caso.

Experimente a calculadora de escore z

Digite um valor, a média e o desvio padrão, ou um percentil, e obtenha o escore z e a área com cada passo explicado.

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