Calculadora de probabilidade

Sobre a calculadora de probabilidade

A probabilidade mede a chance de um evento em uma escala que vai de 0 (impossível) a 1 (certo). A maioria dos exercícios dos livros se encaixa em alguns padrões: contar casos favoráveis, combinar eventos independentes, condicionar a uma informação já conhecida e contar sucessos em tentativas repetidas. Esta calculadora trata dos quatro.

Os dados podem ser contagens inteiras, decimais como 0.25, frações como 1/4 ou porcentagens como 25%. Sempre que possível, a resposta aparece como fração exata com o seu valor decimal e a sua porcentagem, para que você possa apresentá-la na forma que o professor ou o livro pede. Cada modo também mostra as probabilidades complementares ou relacionadas que os exercícios costumam pedir em seguida.

O que é probabilidade?

Quando todos os resultados de um experimento são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento $A$ é o número de resultados favoráveis a $A$ dividido pelo número total de resultados. Ao lançar dois dados, há 36 resultados igualmente prováveis, e em seis deles a soma vale 7, então $P(\text{soma} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

As probabilidades seguem algumas regras: ficam entre 0 e 1, a probabilidade de $A$ não acontecer vale $1 - P(A)$ e a probabilidade de $A$ ou $B$ acontecer vale $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . A probabilidade condicional e a distribuição binomial se apoiam diretamente nessas regras.

Como usar a calculadora de probabilidade

Escolha o tipo de problema: um único evento, dois eventos independentes, probabilidade condicional ou distribuição binomial.
Para um único evento, digite o número de casos favoráveis e o número total de casos igualmente prováveis.
Para eventos independentes, digite P(A) e P(B); para uma probabilidade condicional, digite P(A e B) e P(B).
Para um problema binomial, digite o número de tentativas n, a probabilidade de sucesso p e o número de sucessos k, e indique se você quer exatamente, no máximo, menos de, pelo menos ou mais de k.
Clique em Calcular a probabilidade e veja a resposta exata, a porcentagem e os passos que a justificam.

Fórmulas

Probabilidade clássica (definição de Laplace)

P(A) = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}

Eventos independentes

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Probabilidade condicional

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Probabilidade binomial

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Exemplo resolvido: Dois dados: P(soma 7) = 6/36

O exemplo pede a probabilidade de a soma de dois dados honestos valer 7. Há 6 casos favoráveis, (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) e (6,1), em um total de 36, então $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , ou seja, cerca de 16.67%.

A calculadora também dá o evento complementar, $1 - \frac16 = \frac56$ , isto é, a probabilidade de sair qualquer outra soma, e as chances a favor, $6 : 30$ , que comparam os casos favoráveis com os desfavoráveis em vez de com o total.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

Como interpretamos o seu problema

Um único evento (favoráveis ÷ total)

Solução passo a passo

Dividir o número de casos favoráveis pelo número total de casos igualmente prováveis
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
Evento complementar: o evento não ocorre
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
Chances a favor
$6 : 30$

Fórmulas usadas

Probabilidade clássica (definição de Laplace)
$P(A) = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}$
Evento complementar
$P(A') = 1 - P(A)$

O evento ocorre em 6 dos 36 resultados igualmente prováveis: a sua probabilidade vale, portanto, 16.666667%; ele não ocorre com probabilidade 83.333333%.

Explicação detalhada

Eventos independentes e regra da adição

Dois eventos são independentes quando saber que um aconteceu não muda a probabilidade do outro, como dois lançamentos separados de uma moeda. Nesse caso, a probabilidade de os dois acontecerem é o produto. Com $P(A) = \frac12$ e $P(B) = 0.3$ , os dois acontecem com probabilidade $0.15$ , pelo menos um deles com $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ , exatamente um deles com $0.65 - 0.15 = 0.5$ e nenhum dos dois com $0.5 \times 0.7 = 0.35$ .

A calculadora confere que $P(A \cup B) + P(\text{nenhum}) = 1$ , uma checagem útil, já que esses dois casos juntos cobrem todos os resultados.

Probabilidade condicional

A probabilidade condicional restringe o espaço amostral aos resultados em que $B$ aconteceu e pergunta com que frequência $A$ também acontece nesse espaço menor. Se 12% dos clientes compram um celular e uma capinha, e 40% compram um celular, então $P(\text{capinha} \mid \text{celular}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ : 30% de quem compra um celular também leva uma capinha.

A probabilidade da interseção nunca pode passar de $P(B)$ , e $P(B)$ precisa ser estritamente positiva; a calculadora mostra um erro em qualquer um desses casos. Lembre que $P(A \mid B)$ e $P(B \mid A)$ costumam ser diferentes, e que o teorema de Bayes é a ferramenta para passar de uma à outra.

Probabilidade binomial

Um experimento binomial repete $n$ tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso $p$ . A probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos multiplica o número de maneiras de posicioná-los, $\binom{n}{k}$ , pela probabilidade de qualquer uma dessas disposições. Para no máximo, pelo menos, menos de ou mais de $k$ , a calculadora soma os termos correspondentes e indica quais somou.

Por exemplo, a probabilidade de obter pelo menos 8 coroas em 10 lançamentos de uma moeda honesta vale $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ . A calculadora também dá a média $np$ e o desvio padrão $\sqrt{np(1-p)}$ da distribuição.

Erros comuns

Multiplicar probabilidades de eventos que não são independentes.
Somar $P(A)$ e $P(B)$ sem subtrair a interseção, o que pode dar um total maior que 1.
Confundir $P(A \mid B)$ com $P(B \mid A)$ .
Contar resultados que não são igualmente prováveis, como tratar as somas de 2 a 12 de dois dados como se tivessem a mesma probabilidade.
Confundir chances com probabilidade; chances de 1 : 5 correspondem a uma probabilidade de $\frac16$ .

Dicas

Use o evento complementar nas perguntas do tipo “pelo menos um”: $1 - P(\text{nenhum})$ costuma ser mais rápido.
Em problemas pequenos, liste o espaço amostral ou desenhe uma árvore de possibilidades antes de calcular.
Escreva as probabilidades como frações para obter uma resposta exata.
Confira se todas as respostas ficam entre 0 e 1.
Use a calculadora de arranjos e combinações para contar os casos antes de dividir.

Perguntas frequentes

Como se calcula a probabilidade de um evento?

Divida o número de casos favoráveis pelo número total de casos igualmente prováveis. Para dois dados somarem 7, dá 6 ÷ 36 = 1/6.

Como se calcula a probabilidade de dois eventos independentes acontecerem?

Multiplique as probabilidades deles. Com P(A) = 0.5 e P(B) = 0.3, os dois acontecem com probabilidade 0.15.

O que é probabilidade condicional?

É a probabilidade de A dado que B aconteceu, P(A | B) = P(A e B) ÷ P(B). Consideram-se só os resultados em que B acontece.

Quando usar o modo binomial?

Quando um experimento tem um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis e a mesma probabilidade de sucesso, e você quer a probabilidade de obter um certo número de sucessos.

Posso digitar porcentagens ou frações?

Sim. As probabilidades podem ser escritas como decimal (0.25), fração (1/4) ou porcentagem (25%). No modo de evento único, os números de casos precisam ser inteiros.

Qual é a diferença entre chances e probabilidade?

A probabilidade compara os casos favoráveis com todos os casos; as chances comparam os casos favoráveis com os desfavoráveis. Uma probabilidade de 1/6 corresponde a chances a favor de 1 : 5.

Como calcular “pelo menos” em um problema binomial?

Escolha “P(X ≥ k) pelo menos k”. A calculadora soma as probabilidades de k a n e mostra quais termos somou.

Experimente a calculadora de probabilidade

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O que é probabilidade?

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Fórmulas

Probabilidade clássica (definição de Laplace)

Eventos independentes

Probabilidade condicional

Probabilidade binomial

Exemplo resolvido: Dois dados: P(soma 7) = 6/36

Resposta final

Como interpretamos o seu problema

Solução passo a passo

Fórmulas usadas

Explicação detalhada

Eventos independentes e regra da adição

Probabilidade condicional

Probabilidade binomial

Erros comuns

Dicas

Perguntas frequentes

Como se calcula a probabilidade de um evento?

Como se calcula a probabilidade de dois eventos independentes acontecerem?

O que é probabilidade condicional?

Quando usar o modo binomial?

Posso digitar porcentagens ou frações?

Qual é a diferença entre chances e probabilidade?

Como calcular “pelo menos” em um problema binomial?

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